encadrement intégrale

Quentintin · 07-05-2021 21:45:23

Bonsoir!

f une fonction définie, continue, positive sur [a,b] et il faut montrer que
$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$

la correction commence par : soit $M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$. Puisque f est continue, il existe un point c dans [a,b] tel que f(c)=M. Fixons ε>0. Il existe η>0 tel que, pour tout x dans [c−η,c+η], f(x)≥M−ε. On a alors :

$2\eta(M-\veps)^n\leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\leq (b-a)M^n,$

ce que je ne comprends pas, c'est la premiere partie de l'encadrement: je ne vois pas comment on peut passer d'un minorement au voisinage de c à un minorement sur l'intervalle entier sans que cela ne pose de probleme (comment etre sûr que $2\eta(M-\veps)^n$ minore bien $int_a^b f(x)^n dx$ ?)

Mathieu

Quentintin · 07-05-2021 21:47:06

veps c'est le petit epsilon ...

Roro · 07-05-2021 23:20:13

Bonsoir,

Je ne comprend pas ce qui te pose problème :

Tu sais que pour tout $c-\eta \leq x \leq c+\eta$ on a $(M-\varepsilon)^n \leq f(x)^n$.

Si tu intègres cette inégalité sur $[c-\eta,c+\eta]$ tu en déduis bien $2\eta (M-\varepsilon)^n \leq \int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^n\, dx$.

De l'autre coté, c'est la même chose en commençant par dire que pour tout $a \leq x \leq b$ on a $f(x)^n \leq M^n$ puis en intégrant...

Roro.

Zebulor · 07-05-2021 23:23:31

Bonsoir,
Tu peux par exemple poser $N=M-\varepsilon$ qui est fixé car $\varepsilon$ est fixé .
L'idée est qu'on peut construire un intervalle centré sur $c$ de plus en plus petit jusqu'à ce que tout élément $x$ de $[c−η,c+η], f(x)≥N$.
Grillé par Roro..

Dernière modification par Zebulor (07-05-2021 23:24:35)

Zebulor · 08-05-2021 06:58:11

re,
plus précisément : on fixe $N=M-\varepsilon$. Alors il existe $\eta_1$ et $\eta_2$ non nécessairement égaux mais distincts de $c$ pour lesquels $f(\eta_1)=f(\eta_2)=N$. En choisissant $\eta=Min(\eta_1,\eta_2)$, alors pour tout $x$ de $[c-\eta,c+\eta]$, on a $f(x)^n\ge N^n$..

Dernière modification par Zebulor (08-05-2021 08:13:41)

Quentintin · 09-05-2021 22:57:29

bonsoir et merci pour vos réponses (et désolé pour la mienne assez tardive...)

j'avais bien compris que pour obtenir $2\eta (M-\varepsilon)^n \leq \int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^n\, dx$ il fallait intégrer f(x) pour x dans $[c-\eta,c+\eta]$

Ce que je ne comprends pas, c'est cette inégalité: $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\ $ car l'intervalle $[c-\eta,c+\eta]$ correspond au voisinage de $\sup_{x\in [a,b]}f(x)$ donc par croissance de l'intégrale, on devrait avoir l'inégalité inverse avec $ \int_a^b f(x)^n dx\ leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ $ (l'inégalité inverse)

mathieu

Roro · 09-05-2021 23:14:09

Bonsoir,

Tu peux utiliser l'inégalité suivante : $\int_A f \leq \int_B f$ dès que $A \subset B$ et $f\geq 0$.

Roro.

Dernière modification par Roro (09-05-2021 23:14:21)

Quentintin · 09-05-2021 23:30:05

Bonsoir et merci Roro

Pourrais tu me fournir une preuve rapide ou un lien vers une quelconque démonstration de ta propriété s'il te plait? Parce que j'en vois bien l'utilité dans l'exercice, mais c'est la première fois que je la vois (pas que je doute de ta réponse, je n'oserais pas!)

Mathieu

Roro · 10-05-2021 06:57:23

Une preuve : la relation de Chasles !
$$\int_A f + \int_{B\setminus A} f = \int_B f.$$
Roro.

Dernière modification par Roro (10-05-2021 06:58:32)

Zebulor · 10-05-2021 09:32:40

re,
je me permets cette petite incursion, si je crois bien comprendre ce qui te gêne :

Quentintin a écrit :

Ce que je ne comprends pas, c'est cette inégalité: $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\leq \int_a^b f(x)^n dx\ $ car l'intervalle $[c-\eta,c+\eta]$ correspond au voisinage de $\sup_{x\in [a,b]}f(x)$ donc par croissance de l'intégrale, on devrait avoir l'inégalité inverse avec $ \int_a^b f(x)^n dx\leq\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ $ (l'inégalité inverse)
mathieu

$a$,$b$, $c$ et $\varepsilon$ sont fixés.
Mentalement lorsque $\eta$ varie de $+\infty$ à $0$, il passe par une valeur $\eta_{max}$ pour laquelle le segment $[c-\eta,c+\eta]$ devient inclus dans $[a,b]$. Implicitement $\eta_{max}=\eta_{max}(\varepsilon)$ ... et il me semble que $\eta_{max}=min(c-a,b-c)$

Pour les cas $0\lt \eta \lt \eta_{max}$, $\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(x)^ndx\ \lt \int_a^b f(x)^n dx$ et $\int_{B\setminus A}$ est non nulle.

Dernière modification par Zebulor (10-05-2021 11:43:27)

Quentintin · 10-05-2021 21:27:33

Merci pour vos réponses ! Même si je comprends mieux l'explication de Roro, je trouve ça sympa d'avoir aussi une rédaction plus rigoureuse

Merci à vous deux

Mathieu

Roro · 10-05-2021 22:27:18

Bonsoir,

Quentintin a écrit :

Même si je comprends mieux l'explication de Roro, je trouve ça sympa d'avoir aussi une rédaction plus rigoureuse

Attention je vais me vexer :-p : En quoi mon explication n'était pas rigoureuse ???
Ce n'est pas lorsqu'on met plus de symboles mathématiques qu'on est plus rigoureux...

Bonne soirée,
Roro.

Dernière modification par Roro (10-05-2021 22:34:31)

Zebulor · 10-05-2021 22:42:22

Bonsoir,
haha !! la réflexion de Quentintin me laissait un temps perplexe également ...

Bonne soirée !

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