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#1 04-05-2021 10:23:59

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 316

Convexité obligée ?

Bonjour à tous !

Je me pose des questions existentielles sur la convexité ... Voir Bibmat avec la définition, et je suis bien d'accord !

Et du coup ...

Un segment sur une droite est un domaine convexe, un triangle dans un plan est un domaine convexe, un tétraèdre dans l'espace est un domaine convexe ... Alors, si dans un espace En, de dimension n, je considère un "polyèdre" de n+1 sommets, de sorte qu'aucun sous espace E'p de En, de dimension p<n, ne contienne les n+1 sommets, est-ce que ce "polyèdre" est convexe ? (Je pense au schmiblick ...).

Voilà ma question ! Avis aux pourfendeurs d'E.V. ou affines ... :-))

Cordialement, Bernard-maths


Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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#2 04-05-2021 12:04:36

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
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Re : Convexité obligée ?

Bonjour Bernard-maths,

Si tu définis un polyèdre comme l'enveloppe convexe de $n+1$ points, alors oui, il sera convexe :-p

Comment définis-tu un polyèdre sinon ?

Roro.

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#3 04-05-2021 12:25:49

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 316

Re : Convexité obligée ?

Bonjour Roro !

Je n'ai rien défini ! J'ai mis "polyèdre" entre "  " ...

Quand j'ai un segment (donc convexe) sur une droite ( en 1D), si je "sors" de la droite, dans un plan (en 2D) la contenant, je prends un 3ème point, j'ai un triangle, qui est convexe ! Si je sors du plan, dans l'espace (3D), et si je prends un 4ème point, hors plan du triangle, j'obtiens un tétraèdre, qui est convexe ! Tout ça, "on le sait".

Mais si je continue, je sors de mon espace 3D, dans un "sur-espace", en 4D, et si je prends un 5ème point hors du 3D, j'ai un objet à 5 sommets, cet objet est-il convexe ? Etc ...

C'est peut-être trivial, mais je ne vois pas bien comment démontrer cet enchaînement ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-05-2021 12:27:52)


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#4 04-05-2021 15:21:35

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Convexité obligée ?

Re,

Ce que je voulais dire c'est justement que si tu ne définis pas correctement les objets, on ne peut pas en dire beaucoup. Ainsi, quand tu dis "je prend un 4ème point hors du plan du triangle, j'obtiens un tétraèdre" encore faudrait-il savoir comment tu "définis" un tétraèdre à partir de ces 4 points.

La seule définition "simple" que je connaisse est justement celle d'enveloppe convexe, mais il y a surement moyen d'en inventer une autre pour laquelle il sera moins "trivial" que l'objet obtenu est convexe.

Roro.

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#5 05-05-2021 14:10:12

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 316

Re : Convexité obligée ?

Bonjour Roro,

Peut-être faut-il en rester à une définition "classique" de la convexité, style si A et B dans le "truc", alors segment [AB] aussi ...

Je vais continuer à cogiter ce à quoi ça me fait penser (aux EV ?), et je te dirai ... merci.

Bonne journée !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-05-2021 14:10:46)


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#6 06-05-2021 20:45:08

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Convexité obligée ?

Bonsoir,

C'est une définition assez usuelle d'ensemble convexe : $E$ est convexe si pour tout $A$ et $B$ dans $E$, le segment $[AB]$ est inclus dans $E$. Par segment je veux peux dire l'ensemble des barycentres à coefficients positifs.

Je pense que c'est la définition que tu trouveras à peu près partout.

Roro.

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#7 10-05-2021 10:27:21

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Convexité obligée ?

Bonjour,

normalement oui, en terme d'espace affine , n points définissent un hyperplan affine de dimension vectorielle n-1.
L'ajout d'un n+1- ième point en dehors de l'hyperplan affine  donne une base de l'espace de dimension n.

La figure que vous considérez est un demi-prisme  convexe ( à savoir le prisme convexe qui s'appuie sur les n vecteurs de la base d'un côté
ou l'autre d'un hyperplan affine passant par exactement n points du prime ).

On doit pouvoir montrer que  la partie d'un convexe du même côté d'un "plan" est aussi convexe.
Une image dans le plan: un triangle est toujours un "demi" parallélogramme, dans l'espace usuel un tétraèdre un demi-parallélépipède...

En pensant à un papillon par exemple, on peut parfois obtenir un convexe à partir d'un non convexe...

Alain

Dernière modification par bridgslam (10-05-2021 10:29:38)


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#8 10-05-2021 10:46:08

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Convexité obligée ?

Bonjour,

En terme analytiques, en dimension n, O et n autres points [tex]A_i[/tex] constituant une base affine, il suffit de vérifier

que si deux points M et N de l'espace vérifient  toutes pour leur n coordonnées affines  [tex]x_i( M ou N )[/tex]  l'appartenance à [0,1] ET de plus F( M ) < C  , F( N ) < C  ( où F est la forme linéaire associée à l'hyperplan considéré ) on a lors les mêmes
propriétés pour tout point affine P de [M,N], à savoir que ses coordonnées sont dans [0,1] et que F(P) < C.

Alain

Dernière modification par bridgslam (10-05-2021 11:31:37)


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#9 10-05-2021 11:20:05

bridgslam
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Messages : 1 299

Re : Convexité obligée ?

C'est bien le cas...

Par exemple analytiquement en dimension 2: pour [tex]M( \alpha, \beta )  \;et \; N( \alpha ' , \beta ' ) [/tex] vérifiant de plus
[tex]A \alpha + B \beta + C < 0[/tex] ( et de même avec les  '  sur [tex]\alpha \;et \; \beta[/tex] ) alors  pour tout t réel dans [0,1], on vérifie que [tex]P( t\alpha + (1-t) \alpha ' ,  t\beta  + (1-t) \beta ' )[/tex] vérifie forcément l'inégalité , ( on a multiplié une inégalité par t , l'autre par (1-t) , les inégalités se conservent (< 0), et on ajoute,
on a alors l'inégalité voulue en P, puisque tC + ( 1-t)C = C....

On reste dans le prisme tronqué en prenant un point quelconque sur le segment de deux points dans le prisme tronqué.
Plus long à exprimer qu'à voir, en fait...

Alain

Dernière modification par bridgslam (10-05-2021 11:33:53)


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#10 10-05-2021 12:29:56

bridgslam
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Re : Convexité obligée ?

Si formellement on veut généraliser à à (n+1) points affines ( dont O ) linéairement indépendants en dimension affine n:

Soit O , et X de coordonnées  [tex]x_i , 1 \leq i \leq n [/tex] et Y de coordonnées [tex]y_i , 1 \leq i \leq n [/tex] deux points dans le prisme,
dont les coordonnées sont relatives au repère affine qu'on s'est donné ( d'origine O), ainsi les coordonnées appartiennent à [0,1].

La figure qui nous intéresse impose de plus une relation [tex]\sum_{1 \leq i \leq n}A_i . x_i  + B  \leq 0[/tex] pour X et [tex]\sum_{1 \leq i \leq n} A_i . y_i  + B  \leq 0[/tex] pour Y ( partie du prisme d'un côté ou de l'autre de l'hyperplan passant par n points affines, donc bien de dimension n-1  )

Pour tout t réel dans [0,1] on vérifie facilement ( en multipliant la première inégalité par t et la seconde par (1-t), tous deux positifs,
puis en ajoutant, que    [tex]\sum_{1 \leq i \leq n} A_i  .( \; t. x_i + (1-t) .y_i  \; ) \;+ B  \leq 0[/tex].

Tout point d'un segment d'extrémités dans la figure est donc dans la figure ( convexité)

Alain


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#11 10-05-2021 13:05:52

Bernard-maths
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Messages : 1 316

Re : Convexité obligée ?

Bonjour !

J'ai un peu (beaucoup) de mal à tout suivre ...

Je vais expliquer le lien que je ressens entre ces points et une base d'ev.

Soit un point O tout seul, espace de dim 0, et {O} est un ensemble convexe ... On ajoute un point A différent, on a une base Vect(OA) d'un espace de dim 1, et le segment [OA] est un ensemble convexe, ainsi que la droite (OA) ... On continue : soit B un point hors de la droite (OA). On ajoute un autre vecteur Vect(OB) de base du plan ... Et on crée un triangle, qui est un ensemble convexe. Tout triangle est convexe, ainsi que le plan.

Encore un coup !

Soit C un point hors du plan OAB, on ajoute un vect de base Vect(OC) de l'espace 3D. On a aussi créé un tétraèdre OABC, qui est un ensemble convexe ... comme l'espace 3D ?

Etc ! Donc je me pose la question : est-ce que la notion d'ensemble convexe n'est pas liée avec l'indépendance linéaire d'une base de l'ev associé à cet ensemble convexe ?

Et voilà ! J'ai réussi (je crois) à exprimer ma cogitation, donc je vous laisse y réfléchir : est-ce évident ? Obligé ? Pourquoi ?

Bon courage, et merci de votre collaboration ... Alain, Roro ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (10-05-2021 13:15:43)


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#12 10-05-2021 14:32:00

bridgslam
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Re : Convexité obligée ?

Bonjour,


Je ne comprends pas trop le sens mathématique de ce que vous demandez...

Comment montrez-vous mathématiquement que les divers "tétraèdres" ( disons à partir du triangle sinon c'est trivial à 0 ou 1 dimension)
sont effectivement convexes: c'est important si justement vous souhaitez généraliser...

Ce que je vous indique:

- donne une interprétation d'un hyper-tétraèdre en toute dimension
- montre qu'il est convexe comme le prisme naturel ( naturel au sens qu'il épouse toutes les dimensions ) dont il est issu.

Dans cette démarche, en reprenant le triangle qui est un bon compromis (dim = 2) , c'est simplement l'ensemble des points d'un parallélogramme en-dessus ou un dessous d'une droite ( dim 1 ).
Quand vous considérez un segment, c'est un parallélogramme en dimension 1. Il est forcément convexe, comme les parallélogrammes en dimension 2, les parallélépipèdes en dimension 3, les hyper-parallélépipèdes ensuite...
Votre progression mélange à mon sens deux types d'objets quand vous passez du segment-parallélépipède au triangle-tétraèdre: une chatte n'y retrouvera pas ses petits en dimension supérieure si elle a un peu d' ordre.
En effet alors qu'un segment est trivialement convexe en dimension 1, ce qui est trivial ensuite vaut plutôt pour le parallélogramme, avec le triangle vous ne prenez que la "moitié" de l'homologue du segment... ce qui n'est pas exprimable juste avec une combinaison linéaire
( on sortira forcément, par exemple on n'est plus dans le triangle avec la somme vectorielle OA + OB )

Le cadre mathématique est plutôt:
( trajet dimensionnel des parallélépipèdes :  point, segment, parallélogramme plein, parallélépipède plein... par dimensions croissantes
( trajet dimensionnel  des tétraèdres :                  point,       triangle plein,           tétraèdre plein ....

Le passage d'un hyper-prisme à un hyper-tétraèdre se lit verticalement.
Vous pouvez observer que segment et triangle ne sont ni sur la même ligne, ni aligné verticalement...

Je ne vois pas vraiment ce que vous souhaitez montrer d'autre... mis à part que le linéaire y est prépondérant à deux stades :

- les combinaisons linéaires de deux points [A,B] pris dans un convexe restent dedans si elles se limitent à [A,B]
- elles respectent alors la position commune par rapport un hyperplan affine ( sans doute le fait majeur )

En ce sens on peut dire que oui. Après c'est plus de la métaphysique.
J'espère que j'ai été plus clair.


Alain


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#13 10-05-2021 15:23:11

Bernard-maths
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Re : Convexité obligée ?

Bonjour !

Merci ... je crois que je manipule le vocabulaire de manière moins précise que vous ...

Mais dans le fond, je crois que je suis d'accord.

Je dirais que la convexité est inhérente à ces structures croissantes.

Un triangle n'est que la moitié d'un parallélogramme, et un tétraèdre le tiers...

Je crois qu'il n'y a plus grand chose à me dire, cette notion de convexité intervient dans les équations de polyèdres que je cogite.

Merci encore, et à plus sur un autre sujet !

Bernard-maths


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#14 10-05-2021 16:05:36

bridgslam
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Re : Convexité obligée ?

Bonsoir,

En tout cas c'est un des piliers de l' analyse fonctionnelle, aussi, mais je ne suis pas du tout un spécialiste du domaine...

A+
Alain


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