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#1 12-04-2021 23:48:49

Dragonite
Membre
Inscription : 08-03-2021
Messages : 14

Transformation exponentielle complexe

Bonsoir,

J’aimerais de l’aide pour démontrer que:

[tex] 1+e^{i\theta}+...+e^{ni\theta}=\frac{1-e^{(n+1)i\theta} }{1-e^{i\theta }}[/tex]
Merci d’avance

Hors ligne

#2 13-04-2021 05:22:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Transformation exponentielle complexe

Bonjour

  C'est la somme d'une suite géométrique...

F.

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#3 13-04-2021 09:50:55

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Transformation exponentielle complexe

Bonjour,

Ne pas non plus oublier de distinguer deux cas, la formule affichée est fausse lorsque [tex]\theta[/tex] vaut certaines valeurs, et même pour une infinité... ce qui n'est donc pas à sous-estimer...

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 15-04-2021 12:51:51

Ophephe
Membre
Inscription : 15-04-2021
Messages : 4

Re : Transformation exponentielle complexe

Bonjour,

Pour compléter ce que dit Fred:

$ \sum_{p=0}^n e^{i p \theta} $ est la suite des termes d'une suite géométrique de raison $q = e^{i \theta}$ donc tu as:

$$ \sum_{p=0}^n q^p = \frac{1 - q^{n + 1}}{1-q} = \frac{1 - e^{i (n+1) \theta } }{1-e^{i \theta}}  $$

Bridgslam: pour $\theta = 0$ tu obtiens bien $n+1$ avec cette formule, il faut faire un DL au numérateur, non?


Physicien et ingénieur, rédige des cours de physique mathématique pour les étudiants du supérieur.

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#5 16-04-2021 15:36:10

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Transformation exponentielle complexe

Bonjour,

[tex] 0, 2\pi, 4\pi , 6\pi  ...[/tex] je ne vois pas de DL à faire, la valeur est directe pour ces valeurs de [tex]\theta[/tex].
L'expression est fausse avec un dénominateur nul, point barre :-)

Alain


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