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capesman

Modérateur

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Exemples de dénombrement dans différentes situations

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Exemples de dénombrement dans différentes situations.

Capesman.

mikael22

Membre

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Messages : 2

Re : Exemples de dénombrement dans différentes situations

Bonjour,

Je propose le plan suivant :

1 Définitions
    1.1 Ensembles
    1.2 Dénombrement
    1.3 K-uplet
2 Principe additif
3 Principe multiplicatif
4 Nombres des parties d'un ensemble à n éléments (n épreuves de Bernoulli)
5 Nombre de K-uplets d'éléments distinct d'un ensemble à n éléments (arrangements)
6 Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments (fonction factorielle)
7 Combinaisons de k éléments d'un ensemble à n éléments (Schéma de Bernoulli)
    7.1 Formules du triangle de Pascal
    7.2 Formule du binôme

Avec bien sur pour chaque section, des exercices permettant d'illustrer chacun des points.
Qu'en dites vous ?

Niveau de la leçon : Terminale Générale

Mikaël

Dernière modification par mikael22 (05-04-2021 13:05:24)

Fred

Administrateur

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Messages : 5 908

Re : Exemples de dénombrement dans différentes situations

Bonjour

  Cette leçon doit effectivement s'articuler autour du nouveau chapitre de dénombrement de Terminale. Tel que ton plan est écrit, c'est un peu brut! Spontanément j'aurais :
* dénombrer aussi le nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments - il me semble que cela est un prélude au dénombrement du nombre de parties
* regrouper les parties 5 et 6 au sein d'une même partie (les permutations sont des cas particuliers des arrangements).

F

mikael22

Membre

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Messages : 2

Re : Exemples de dénombrement dans différentes situations

Bonjour,
Merci pour ces remarques. Je vais en prendre note dans mon nouveau plan.
Pour le nombre de partie d'un ensemble à n éléments, il y a deux solutions je pense :
- Soit on considère qu'il s'agit du nombre de feuille de l'arbre du schéma de Bernoulli
- Soit on additionne les nombres de combinaisons de k éléments pour k de 0 à n  et on fait intervenir la formule du binôme. Dans ce cas, c'est vrai, le nombre de combinaisons de k éléments d'un ensemble à n éléments est un pré requis.

Mikaël

Fred

Administrateur

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Messages : 5 908

Re : Exemples de dénombrement dans différentes situations

Re-

  Non, je ne voulais pas appliquer la formule du binôme, je voulais juste dénombrer les k-uplets $(a_1,\dots,a_k)$ où les $a_i$ sont des éléments d'un ensemble $E$ à $n$ éléments.

F

Ace Of Spades

Invité

Re : Exemples de dénombrement dans différentes situations

Bonjour,

j'aimerais utiliser l'approche suivante, et savoir ce que vous en pensez :

En gros deux ensembles: Définition mathématique et schématique des arrangements (parties I et II), puis mise en situation du dénombrement (parties III et IV). Ce qui donne le plan suivant:

I) Définition mathématique de deux grands types de dénombrement: arrangements et combinaisons.

I.1 : Arrangements :
     - Définition des arrangements d'un ensemble {a,b,c,d,e}.
     - Formule mathématique généralisée à un ensemble à n éléments.
     - Exemple d'illustration directe du nombre de k-uplets dans un cas concret.

I.2. : Combinaisons :
     - Définition des combinaisons d'un ensemble {a,b,c,d,e}. Insister sur la différence avec l'arrangement.
     - Formule mathématique généralisée à un ensemble à n éléments.
     - La suite de l'exposé est consacré aux combinaisons.

II) Application schématique du binôme à partir du nombre de succès sur l'ensemble des chemins d'un arbre de Bernouilli.

III) Mise en situations en algèbre: propriétés du nombre de parties d'un ensemble.
     - Formule de symétrie du binôme, démontrée à l'aide de l'arbre.
     - Relation de Pascal, démontrée à l'aide de l'arbre.

IV) Mise en situation en probabilités: définition et proposition d'un exercice d'application de la loi bionômiale.

Florian