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Dragonite

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Integrale en arctan

Bonjour,

Je cherche à intégrer [tex] \int \frac{dx}{[(x+\frac{1}{2}^2)+\frac{3}{4}]}[/tex]

J’ai développé le dénominateur en [tex] x^2+x+1[/tex] puis poser [tex] u^2= x^2+x[/tex]

De telle sorte à pouvoir utiliser [tex] \int \frac{1}{1+u^2}= \frac{arctan u}{u`}[/tex]

Mais ça ne conduit pas du tout au résultat demandé qui est : [tex] \frac{2}{\sqrt3}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt3})[/tex]

Merci d’avance

Zebulor

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Re : Integrale en arctan

Bonjour,

Essaie de dériver ceci [tex] \frac{1}{a} Arctan(\frac{x+b}{a})[/tex] par rapport à $x$ et regarde ce que ça donne...

Dans ton changement de variable ton $du$  n'est pas simple  d'autant qu'il faut exprimer ensuite $x$ en fonction de $u$

Dernière modification par Zebulor (30-03-2021 21:37:50)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Roro

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Re : Integrale en arctan

Bonsoir,

A mon avis ce n'était pas une bonne idée de développer le dénominateur.
Par contre, la bonne idée était d'utiliser le fait que tu connais une primitive de $\frac{1}{1+y²}$.

Je te conseille d'écrire (par exemple) : $\frac{3}{4} + (x+\frac{1}{2})²$ sous la forme $c(1+y²)$...

Roro.

Dernière modification par Roro (30-03-2021 22:17:43)

Zebulor

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Re : Integrale en arctan

re,
ce qui te fait deux explications complémentaires et tu devrais voir apparaître l'expression demandée..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Dragonite

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Re : Integrale en arctan

Oui j’ai trouvé merci

Black Jack

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Re : Integrale en arctan

Bonjour,

Dans la même ligne ... (même but)

Avec $ \int \frac{dx}{(x+a)^2 + b} $  (avec b > 0)

Faire le changement de variables :$ (x+a) = \sqrt{b}.t$