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#2 20-02-2021 17:42:52
- Roro
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Re : espace de sobolev
Bonjour,
Peux-tu écrire en utilisant les balises Latex ?
Je connais les espaces de la forme $H^1(0,T;X)$ mais je ne sais pas ce que signifie l'espace $H^1(0,T;X,Y)$... (même si j'ai bien une petite idée).
Autre point : qui est $\Omega$ ? Un ouvert (bornée ? régulier ?) de $\mathbb R^d$ ($d= ?$) ??? En particulier, la dimension est certainement fondamentale dans la réponse qu'on peut te donner !
Roro.
Dernière modification par Roro (20-02-2021 19:15:22)
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#5 23-02-2021 14:42:19
- Lakhdar
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Re : espace de sobolev
Merci Monsieur pour la repense, Ω un ouvert borné régulier de R^{n}, notre question est si u\in H^{1}(0, T; H^{1}(Ω), H^{-1}(Ω)) il faut vérifier que f(u)=u(t)^{3}+ru(t) est dans L^{2}(0,T,H^{-1}(Ω))
Merci Monsieur d'avance.
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#6 23-02-2021 15:35:38
- Roro
- Membre expert
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Re : espace de sobolev
Bonjour,
Merci Monsieur pour la repense, Ω un ouvert borné régulier de R^{n}, notre question est si u\in H^{1}(0, T; H^{1}(Ω), H^{-1}(Ω)) il faut vérifier que f(u)=u(t)^{3}+ru(t) est dans L^{2}(0,T,H^{-1}(Ω))
Merci Monsieur d'avance.
Je suis d'accord. J'ai vérifié que ça marche (mais pourquoi "Il faut vérifier" ?).
Roro.
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#9 23-02-2021 20:38:31
- Lakhdar
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Re : espace de sobolev
\int_{0}^{T}[u(t)^{3}+ru(t)]^{2}dt=\int_{0}^{T}[u(t)^{6}+r^{2}u^{2}(t)+2ru^{4}(t)] =\int_{0}^{T}u(t)^{2}[u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)]dt en utilisant inégalité de Cauchy Schwartz \leq(\int_{0}^{T}|u(t)^{2}|^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot(\int_{0}^{T}|u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)|^{2})^{\frac{1}{2}} question? <\infty?? on a u\in H^{1}(0, T; H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega)) c -à- d u(t)\in L^{2}(0, T; H^{1}(\Omega)) et u'(t) \in L^{2}(0, T; H^{-1}(\Omega)) alors \int_{0}^{T}|u(t)|^{2})dt<\infty et \int_{0}^{T}|u'(t)|^{2})dt<\infty
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#10 23-02-2021 23:02:52
- Roro
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Re : espace de sobolev
Bonsoir,
Je ne peux malheureusement pas répondre car c'est illisible. Peux-tu relire et prendre en compte mon premier post :
Peux-tu écrire en utilisant les balises Latex ?
En pratique il suffit de mettre les expressions que tu as écris avec le symbole $ de chaque coté (et prévisualiser pour voir le rendu).
Roro.
Dernière modification par Roro (23-02-2021 23:04:06)
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#11 24-02-2021 14:34:24
- Lakhdar
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Re : espace de sobolev
$$\int_{0}^{T}[u(t)^{3}+ru(t)]^{2}dt=\int_{0}^{T}[u(t)^{6}+r^{2}u^{2}(t)+2ru^{4}(t)]dt $$ $$=\int_{0}^{T}u(t)^{2}[u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)]dt$$ $$\leq(\int_{0}^{T}|u(t)^{2}|^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot(\int_{0}^{T}|u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)|^{2})^{\frac{1}{2}} (en, utilisant, inégalité, de, Cauchy, Schwartz$$$$question? <\infty?? $$ on a $u\in H^{1}(0, T; H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega))$ c -à- d $u(t)\in L^{2}(0, T; H^{1}(\Omega))$ et $u'(t) \in L^{2}(0, T; H^{-1}(\Omega))$ alors $\int_{0}^{T}|u(t)|^{2})dt<\infty$ et $\int_{0}^{T}|u'(t)|^{2})dt<\infty$
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#12 24-02-2021 16:38:12
- Roro
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Re : espace de sobolev
Bonjour,
Ca me semble un poil plus technique que d'utiliser simplement l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En fait, la vraie question est de savoir si $u^3\in L²(0,T;H^{-1}(\Omega))$ puisque c'est évident pour $r\,u$.
Je te conseille d'aller jeter un coup d'oeil aux résultats de type "Aubin–Lions–Simon" par exemple dans l'ouvrage "Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models" de F. Boyer et P. Fabrie. Tu peux aussi retrouver ce type de résultats dans des articles de Jacques Simon (sur sa page web il doit y avoir les pdf).
Bref, ce sont des résultats qui t'indiquent que si $f\in L^p(0,T,B_0)$ et $\partial_t f\in L^r(0,T,B_2)$ alors $f\in L^p(0,T,B_1)$ ou $B_1$ est "entre" $B_0$ et $B_2$... (avec injection compacte, même si ici tu n'as pas forcément besoin de compacité).
Roro.
Dernière modification par Roro (24-02-2021 18:16:07)
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#14 26-02-2021 23:22:38
- Lakhdar
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Re : espace de sobolev
bonsoir monsieur voila le Théorème:(Aubin – Lions – Simon). Soit $B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}$ trois espaces de Banach. On suppose que l'injection de $B_{1}$ dans $B_{2}$ est continue et que l'injection de $B_{0}$ dans $B_{1}$ est compacte. Soit $p,r$ tel que $1\leq p,r\leq+\infty$. Pour $T>0$, on d\'{e}finit $$Ep,r=\{v\in L^{p}(]0,T[,B_{0}),\frac{dv}{dt}\in L^{r}(]0,T[,B_{2})\}$$
$i)$ Si $p<+\infty$,l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $L^{p}(]0,T[,B_{1})$ est compacte. $ii)$ Si $p=+\infty$ et si $r>1$, l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $C^{0}([0,T],B_{1})$ est compacte. comment on utilise cette Théorème pour démontrer que $u^{3}\in L^{2}(]0,T[,H^{-1}(\Omega))$
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