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#1 20-02-2021 10:42:29

Lakhdar
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espace de sobolev

bonjour, si u\in H^{1}(0,T;H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega))   
       Question : est-ce que f(u(t))=u(t)^{3}+ru(t), appartient à  L^2(0,T,H^{-1}(\Omega))?

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#2 20-02-2021 15:42:52

Roro
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Re : espace de sobolev

Bonjour,

Peux-tu écrire en utilisant les balises Latex ?
Je connais les espaces de la forme $H^1(0,T;X)$ mais je ne sais pas ce que signifie l'espace $H^1(0,T;X,Y)$... (même si j'ai bien une petite idée).

Autre point : qui est $\Omega$ ? Un ouvert (bornée ? régulier ?) de $\mathbb R^d$ ($d= ?$) ??? En particulier, la dimension est certainement fondamentale dans la réponse qu'on peut te donner !

Roro.

Dernière modification par Roro (20-02-2021 17:15:22)

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#3 22-02-2021 21:38:00

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

bonsoir Monsieur, merci bien pour la répense ,Ω un domaine borné de  Rd (d=1,2,3) et H1(0,T;X,Y)={u(t)\in X tel que u ' \in Y

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#4 23-02-2021 07:41:06

Roro
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Re : espace de sobolev

Bonjour Madame,

dans ce cas, je répondrai oui à la question initiale (si le domaine $\Omega$ est Lipschitz).

Roro.

Dernière modification par Roro (23-02-2021 07:41:46)

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#5 23-02-2021 12:42:19

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

Merci Monsieur pour la repense, Ω un ouvert borné régulier de R^{n}, notre question est si u\in H^{1}(0, T; H^{1}(Ω), H^{-1}(Ω))  il faut vérifier que f(u)=u(t)^{3}+ru(t) est dans L^{2}(0,T,H^{-1}(Ω))
Merci Monsieur d'avance.

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#6 23-02-2021 13:35:38

Roro
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Re : espace de sobolev

Bonjour,

Lakhdar a écrit :

Merci Monsieur pour la repense, Ω un ouvert borné régulier de R^{n}, notre question est si u\in H^{1}(0, T; H^{1}(Ω), H^{-1}(Ω))  il faut vérifier que f(u)=u(t)^{3}+ru(t) est dans L^{2}(0,T,H^{-1}(Ω))
Merci Monsieur d'avance.

Je suis d'accord. J'ai vérifié que ça marche (mais pourquoi "Il faut vérifier" ?).

Roro.

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#7 23-02-2021 15:07:18

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

Bonsoir Monsieur, j'ai besoin de la d’monstration s'il vous plais.

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#8 23-02-2021 18:02:39

Roro
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Re : espace de sobolev

Oui, je m'en doutais un peu mais il faudrait dire avant ce que tu as essayé et pourquoi tu bloques !

Roro.

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#9 23-02-2021 18:38:31

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

\int_{0}^{T}[u(t)^{3}+ru(t)]^{2}dt=\int_{0}^{T}[u(t)^{6}+r^{2}u^{2}(t)+2ru^{4}(t)]                                                =\int_{0}^{T}u(t)^{2}[u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)]dt  en utilisant inégalité de Cauchy Schwartz                                                                                     \leq(\int_{0}^{T}|u(t)^{2}|^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot(\int_{0}^{T}|u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)|^{2})^{\frac{1}{2}}                                            question? <\infty??                                                                                                                                                                             on a u\in H^{1}(0, T; H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega)) c -à- d  u(t)\in L^{2}(0, T; H^{1}(\Omega)) et u'(t) \in L^{2}(0, T; H^{-1}(\Omega))   alors \int_{0}^{T}|u(t)|^{2})dt<\infty et  \int_{0}^{T}|u'(t)|^{2})dt<\infty

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#10 23-02-2021 21:02:52

Roro
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Re : espace de sobolev

Bonsoir,

Je ne peux malheureusement pas répondre car c'est illisible. Peux-tu relire et prendre en compte mon premier post :

Roro a écrit :

Peux-tu écrire en utilisant les balises Latex ?

En pratique il suffit de mettre les expressions que tu as écris avec le symbole $ de chaque coté (et prévisualiser pour voir le rendu).

Roro.

Dernière modification par Roro (23-02-2021 21:04:06)

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#11 24-02-2021 12:34:24

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

$$\int_{0}^{T}[u(t)^{3}+ru(t)]^{2}dt=\int_{0}^{T}[u(t)^{6}+r^{2}u^{2}(t)+2ru^{4}(t)]dt $$                                               $$=\int_{0}^{T}u(t)^{2}[u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)]dt$$                                                                                     $$\leq(\int_{0}^{T}|u(t)^{2}|^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot(\int_{0}^{T}|u(t)^{4}+r^{2}+2ru^{2}(t)|^{2})^{\frac{1}{2}} (en, utilisant, inégalité, de, Cauchy, Schwartz$$$$question? <\infty?? $$                                                                                                                                                                                                                on a $u\in H^{1}(0, T; H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega))$ c -à- d  $u(t)\in L^{2}(0, T; H^{1}(\Omega))$ et $u'(t) \in L^{2}(0, T; H^{-1}(\Omega))$   alors $\int_{0}^{T}|u(t)|^{2})dt<\infty$ et  $\int_{0}^{T}|u'(t)|^{2})dt<\infty$

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#12 24-02-2021 14:38:12

Roro
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Re : espace de sobolev

Bonjour,

Ca me semble un poil plus technique que d'utiliser simplement l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En fait, la vraie question est de savoir si $u^3\in L²(0,T;H^{-1}(\Omega))$ puisque c'est évident pour $r\,u$.

Je te conseille d'aller jeter un coup d'oeil aux résultats de type "Aubin–Lions–Simon" par exemple dans l'ouvrage "Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models" de F. Boyer et P. Fabrie. Tu peux aussi retrouver ce type de résultats dans des articles de Jacques Simon (sur sa page web il doit y avoir les pdf).

Bref, ce sont des résultats qui t'indiquent que si $f\in L^p(0,T,B_0)$ et $\partial_t f\in L^r(0,T,B_2)$ alors $f\in L^p(0,T,B_1)$ ou $B_1$ est "entre" $B_0$ et $B_2$... (avec injection compacte, même si ici tu n'as pas forcément besoin de compacité).

Roro.

Dernière modification par Roro (24-02-2021 16:16:07)

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#13 24-02-2021 15:22:28

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

Bonsoir Monsieur,je vous remercie bien  pour tes conseilles et votre aide.

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#14 26-02-2021 21:22:38

Lakhdar
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Re : espace de sobolev

bonsoir monsieur voila le Théorème:(Aubin – Lions – Simon). Soit $B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}$  trois espaces de Banach. On suppose que l'injection de $B_{1}$ dans $B_{2}$ est continue et que l'injection de $B_{0}$ dans $B_{1}$ est compacte. Soit $p,r$ tel que $1\leq p,r\leq+\infty$. Pour $T>0$, on d\'{e}finit $$Ep,r=\{v\in L^{p}(]0,T[,B_{0}),\frac{dv}{dt}\in L^{r}(]0,T[,B_{2})\}$$
$i)$ Si $p<+\infty$,l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $L^{p}(]0,T[,B_{1})$ est compacte.                                                                                  $ii)$ Si $p=+\infty$ et si $r>1$, l'inclusion de $E_{p,r}$ dans $C^{0}([0,T],B_{1})$ est compacte.  comment on utilise cette Théorème pour démontrer que $u^{3}\in L^{2}(]0,T[,H^{-1}(\Omega))$

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