Incompréhension d'un raisonnement dans "Very Math Trip"

Judy · 15-02-2021 15:02:25

Bonjour !

A la lecture d'un chapitre de Very Math Trip de Manu Houdart, je me suis cognée (outch) à ceci :

Lorsque l'auteur pose la question "vous suivez ?", ma réponse est négative. Je ne comprends pas la déduction des années bissextiles de cette mise en équation des 0,2425 ou 0,2422 jour. Quelqu'un aurait-il la réponse, svp ?

yoshi · 15-02-2021 16:33:15

RE,

Actuellement, est bissextile toute année multiple de 4, sauf les années de changement de siècle si le millésime n'est pas multiple de 4
2000 était bissextile : 20 est multiple de 4.
1700, 1800, 1900 ne l'étaient pas 17, 18, 19 ne se divisent pas par 4 et 2100, 2200, 2300 ne le seront pas non plus pour la même raison, soit :
1 année sur 400 : $\dfrac 1 4$

3 années sur 400 : $\dfrac{3}{400}$
D'où :
$\dfrac 1 4-\dfrac{3}{400}=\dfrac{100}{400}-\dfrac{3}{400}=\dfrac{97}{400}$ et $97/400 = 0{,}2425$
Tu me suis ? ^_^

Quant à 0.2422, il n'y a pas de justification précise donnée, mais je détaille le calcul :
$\dfrac 1 4-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{400}-\dfrac{1}{2000}+\dfrac{1}{4000}-\dfrac{1}{20000}$

$=$

$\dfrac{5000}{20000}-\dfrac{200}{20000}+\dfrac{50}{20000}-\dfrac{10}{20000}+\dfrac{5}{20000}-\dfrac{1}{20000}=\dfrac{4844}{20000}=\dfrac{1211}{5000}$

Et $1211/5000=0{,}2422$
As-tu réponses à tes questions ?

@+

Judy · 15-02-2021 18:27:13

Merci pour les éclairages ! Ma difficulté réside dans la compréhension de la réalité derrière l'équation et cette façon de présenter les choses. Avec la tienne

yoshi a écrit :

[tex]\dfrac 1 4-\dfrac{3}{400}[/tex]

, je comprends bissextiles 1 année sur 4 sauf 3 sur 400 ans. La décomposition de l'auteur permet de préciser qu'une année par siècle [tex]-\frac{1}{100}[/tex] est à retirer de [tex]\frac{1}{400}\ [/tex](qui est, elle, bissextile), en fait. Non ? Ça revient au même, mais est-ce que c'est bien comme cela qu'il faut le lire ?

Bernard-maths · 15-02-2021 20:08:22

Bonsoir Judy ! Et Yoshi !

Bon, Yoshi a produit une explication, en voici une autre ...

Supposons que notre temps zéro soit le 1er janvier d’une année dite zéro, 2000. La terre fait un tour complet autour du Soleil en 365,2422 jours, c’est pas pratique, donc on arrondi l’année civile à 365 jours.

Mais alors chaque année qui passe, on perd 0,2422 jour, et au bout de 4 ans, on a perdu 4 * 0,2422 = 0,9688 jour, donc presque 1 jour. Alors en arrondissant on ajoute 1 jour à cette 4ème année, qui devient bissextile avec 366 jours.
Voilà pourquoi on a ¼ …

MAIS si on ajoute 1 jour tous les 4 ans, en fait c’est un peu trop de 0,0312 …
Si on calcule 1/0,0312 = 32,05 périodes de 4 ans = 32,05 * 4 = 128, 2 ans …
DONC en 128 ans, on aura ajouté 1 jour, qu’il faudrait retirer … pas pratique 128, donc on va le faire tous les 100 ans !
100 ans c’est un siècle, donc c’est une année bissextile et il faut enlever 1 jour ; donc pas bissextile !

MAIS en réalité, au bout de 100 ans, on a enlevé 0,0312 * 100 = 0,312 jours, alors en 400 ans on enlèvera 0,312 * 4 = 1,248 jour … donc on va en rajouter 1 !

ET ainsi de suite : un coup on ajoute, un coup on enlève ! Et on s’arrange pour tourner en moyenne autour de 365,2422 !

Et quand tu vois écrit : 0,2422 = ¼ -1/100 + 1/400 – 1/2000 + 1/4000 – 1/20000 + …
Il faut comprendre qu’on ajoute 1 jour tous les 4 ans, on enlève 1 jour tous les 100 ans, mais on doit en ajouter 1 tous les 400 ans … etc !
Quand on ajoute l’année est bissextile, quand on enlève, l’année qui devait être bissextile ne l’est pas !

En réalité ça continue « indéfiniment », car cette valeur 365,2422… est approximative, et en plus l’Univers évoluant, au fil des millions d’années, ça change un peu …
Voilà, j’espère avoir été pas trop obscur … et ne pas avoir fait d'erreur, mais le principe est là.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (15-02-2021 20:10:22)

yoshi · 15-02-2021 20:08:48

Non, pas tout à fait...
L'année dite bissextile comporte un jour de rattrapage t donc dure 366 jours
Si je dis une année sur 4 est bissextile, cela signifie que la durée moyenne d'une année (moyenne calculée sur 4 ans) est de
(365*4+366)/4 = 365,25, c'est trop...
Donc, on décide que : l'année du nouveau siècle dont le millésime n'est pas un multiple de 4 : 1300, 1400, 1500, 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300 n'est pas bissextile, soit 3 jours de moins tous les 400 ans...
Donc, ce n'est plus :
une année sur 4 est bissextile
mais
une année sur 4, sauf 3 tous les 400 ans, est bissextile,
soit encore
une année comportera 1 jour de plus tous les 4 ans, moins 3 fois tous les 400 ans et sera dite bissextile.
Sur 400 ans, on compte :
* 365 *400 jours
* auxquels il faut rajouter 1 jour tous les 4 ans, c'est à dire 100 jours
* moins 3 en 400 ans
Donc durée moyenne d'une année sur 400 ans :
$\dfrac{365\times 400+100-3}{400}=\dfrac{146000+100-3}{400}=\dfrac{146097}{400}$
soit
1 année dure 146097/400=365,2425 jours donc 0,2425 jour de plus que notre année standard...

une année par siècle $\frac{1}{100}$ est à retirer de $\frac{1}{400}$

Je redis qu'une années sur 4 est bissextile sauf 3 tous les 400 ans :
$\frac{1}{4}-\frac{3}{400}$
Que je retrouve comme ceci :
$\dfrac{365\times 400+100-3}{400}=\dfrac{365\times 400}{400}+\dfrac{100}{400}-\dfrac{3}{400}$
(J'ai décomposé en une somme de fractions)
Soit en simplifiant les fractions :
$365+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{400}$
Soit une augmentation, pour une durée réelle de l'année, de :
$\left(365+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{400}\right)-365= \dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{400}$

Concernant l'article, je ne trouve pas très judicieux de compliquer les choses...
Il dit, pas très clairement :
* 1 jour par 4 ans est ajouté $\frac 1 4$
* 1 jour par siècle (100 ans) est supprimé $-\frac{1}{100}$
* 1 jour tous les 4 siècles (400 ans) doit être est rajouté (sinon, trop de jours sont retirés) :$+\frac{1}{400}$
Soit :
$\frac 1 4-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}$
L'auteur a pris le parti de n'utiliser que des fractions de numérateur 1, de n'ajouter ou retiré qu'un jour à la fois :
$\frac 1 4-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}=\frac 1 4-\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{400}\right)=\frac 1 4-\frac{3}{400}$

@+

Bernard-maths · 15-02-2021 20:20:53

Hello !

Les grands esprits se rencontrent !

à 36 secondes près ?

Bonsoir ...

Dernière modification par Bernard-maths (15-02-2021 20:21:41)

yoshi · 15-02-2021 22:07:08

Ave,

Je n'avais pas vu ta réponse... à 38 s (et non 36) près !
En effet, nous sommes en phase, j'aurais même peut-être pu la voir avant de poster, mais j'avais fini, depuis au moins 5 min, et à grands coups de prévisualisation, je retouchais mes phrases et les formules Latex où les copier/coller et la grande sensibilité de ma souris et mes gestes parfois un peu vifs conduisent à des formules qui ne peuvent pas être interprétées...

Tu complètes bien et donnes une autre façon d'expliquer la chose.
Je comprends la Miss, la formulation de l'auteur pouvait être perturbante...

Quant aux années bissextiles des débuts du 1er millénaire, toutes les sources ne sont toutes d'accord entre elles, il n'y a qu'après le passage du calendrier julien calendrier au grégorien qu'i y a consensus : je m'en étais rendu compte au moment où j'ai écrit mon programme de calendrier donnant le jour de la semaine d'une date quelconque.
En fait, j'en ai deux versions, l'une sans utiliser des fonctions ad hoc de Python, l'autre si (et donc plus courte), mais pour les deux versions je ne suis pas d'accord avec les années bissextiles en question du calendrier julien utilisées pour les outils Python...
On s'amuse comme on peut...

@+

Bernard-maths · 16-02-2021 08:53:01

Bonjour !

Alors Judy, qu'en penses-tu ?

A plus ...

Judy · 16-02-2021 12:10:27

C'est super ! Merci beaucoup Bernard-maths et Yoshi pour vos explications détaillées !

bridgslam · 09-03-2021 18:14:19

Bonjour à tous,

je crois aussi qu'un que-sais-je d'arithmétique fait le tour du sujet, en montrant que les écarts qui s'affinent 1/4 etc
sont issus de calculs en fractions continues, et que c'est le plus économique et rapide en terme de dénominateurs.

Cordialement,
Alain

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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