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#26 13-01-2021 13:06:40

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous !

"Mon théorème", Wiwaxia a encore parlé, et c'est Ok pour moi, mais les explications sont "très matheuses", et c'est pour ça que je passe à la deuxième étape à ma façon, pour essayer de donner un son de cloche un peu différent. Je vais envoyer le paquet à la suite ... mais vous pouvez aussi vous inspirer des calculs de Wiwaxia.

Pour l'affaire du cuboctaèdre, Wiwaxia, je reste encore un peu borné ! Il y a un truc que je n'ai pas encore compris/trouvé, il me faut un peu de temps, car j'ai maintenant le cerveau lent, et je n'ai pas eu le temps de bien décortiquer l'affaire.
Perso je passe par une voie utilisant les pyramides pour trouver cette équation, et je procède en 2 temps pour les carrés puis les triangles.
Je présenterai cette méthode un peu plus tard ...

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2021 13:12:05)

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#27 13-01-2021 13:18:12

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous ! Je passe à la 2ème étape : Pour commencer la correction de la 1ère étape.

Comme je ne sais pas déposer encore de figure sur le site, vous allez me suivre attentivement !
Je vais faire la démonstration pour un quadrilatère convexe quelconque, vous verrez qu’il est facile de généraliser …

1°) Donc, dans un plan, tracez un quadrilatère convexe ABCD tel que les côtés soient [AB] « en haut », [BC] « à gauche », [CD] « en bas » et [DA] « à droite ». Placez un point M à l’intérieur strict dans le plan de ABCD … Joignez M aux 4 sommets. Vous venez de partager ABCD en 4 triangles contenus dans ABCD (et son plan) !
On peut alors écrire : aire(ABCD) = aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA).

2°) Que se passe-t-il si M est sur (la ligne périmétrique de) ABCD ? Par exemple sur [AB] ?
Alors le triangle MAB est aplati et son aire = 0 … Il reste 3 triangles intérieurs, et la formule des aires reste vraie !
Et aussi si M est un des 4 sommets, il reste 2 triangles …

3°) Et si M sort de ABCD ? Par exemple, poussez M un peu « au dessus » de AB, vous voyez alors un pentagone AMBCD qui contient strictement ABCD … la formule des aires n’est plus vraie ! Mais on a : aire(ABCD) < aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA).

4°) Et si M sort du plan de ABCD ? Alors les longueurs des 4 segments MA, MB, MC et MD augmentent, donc les aires des 4 triangles aussi, donc on a le même résultat qu’en 3°) !

5°) CONCLUSION : on voit donc que l’égalité : aire(ABCD) = aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA), n’est vraie que si M est dans le plan de ABCD, et à l’intérieur au sens large.

Théorème : soit un polygone plan convexe A1A2 … An à n côtés, soit M un point de l’espace. On définit ainsi n triangles MA1A2, MA2A3, … , MAiAi+1, … , MAnA1.
Alors l’égalité : aire(A1 … An) = Somme des aires(MAiAi+1) est une équation de la zone plane intérieure, au sens large, au polygone.

Et pour finir :
6°) Il vous reste à démontrer le théorème que j’ai proposé le 11 à 19h, en considérant que le polygone est régulier, cela veut dire qu’il a n côtés égaux, et n angles aux sommets égaux. L’apothème est alors la valeur de la hauteur des n triangles (égaux) de sommet M = O, O centre du cercle circonscrit … et on peut simplifier par quelque chose …

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2021 13:22:58)

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#28 13-01-2021 22:26:50

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... je ne sais pas déposer encore de figure sur le site ...

1) Activer le lien vers l'hébergeur d'images: https://www.cjoint.com/
2) Faire glisser l'image dans le cadre prévu.
3) Cliquer sur le bouton "Créer le lien Cjoint", situé plus bas en-dessous de quelques pubs.
4) Copier éventuellement l'adresse du lien, par ex. https://www.cjoint.com/c/KAnwlUSXTC0
5) Cliquer dessus, puis sur le bouton d'accès au fichier.
6) On retrouve alors l'image en plein écran; copier son adresse URL:
https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAnwlUSXTC0_1.jpg
créer éventuellement le lien Internet par glissement dans ton dossier personnel.
7) L'insertion dans une réponse sur le forum se fait à l'aide des balises image:
[img#]https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAnwlUSXTC0_1.jpg[/img#]
la suppression des deux caractères "#" active immédiatement les balises - ce que je ne peux faire dans ce texte.

Bernard-maths a écrit :

... Et pour finir :
6°) Il vous reste à démontrer le théorème ...

Là, je ne peux plus suivre ! Il faudra attendre un peu ...

Bon courage.

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#29 14-01-2021 09:48:06

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Hello Wiwaxia !

Je vais tenter de mettre une image :

[img#]https://www.cjoint.com/c/KAojTiD4HUV[/img#]

Reste à voir maintenant !


Ca ne marche pas ?
Peux-tu en faire quelque chose ?

MERCI ...

Dernière modification par Bernard-maths (14-01-2021 09:57:28)

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#30 14-01-2021 10:26:37

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous !

Compléments pour la fin de la 2ème étape :
vous allez regarder chez la réponse de Wiwaxia en fin de page 1. Vous y trouvez un hexagone très coloré A1A2A3A4 ...
Le point M intérieur se projette en H1, H2, H3 ... Donc aire(MA1A2) = A1A2 x MH1 /2, etc ...

La formule des aires s'écrit donc : aire(A1A2...An) = (A1A2 x MH1 + A2A3 x MH2 + A2A3 x MH3 + ... + AnA1 x MHn) /2 !

Alors si le polygone est régulier convexe, A1A2 = A2A3 = A3A4 = ... =AnA1, et si M = O centre du polygone, on a aussi OH1 = OH2 = ... = OHn ...

De plus les n triangles OA1A2, OA2A3, OA3A4, ... , OAnA1 sont égaux (isométriques), on peut donc facilement calculer aire(A1A2 ... An) ...

Allez, je vous laisse finir !


A bientôt, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-01-2021 10:28:04)

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#31 14-01-2021 15:22:01

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... Je vais tenter de mettre une image :

[img#]https://www.cjoint.com/c/KAojTiD4HUV[/img#]

Reste à voir maintenant !

Ca ne marche pas ?
Peux-tu en faire quelque chose ? ...

Il faut enlever les caractères "#": les balises deviennent alors actives, et l'image remplace la ligne qui n'apparaît plus:

[img][url]https://www.cjoint.com/c/KAojTiD4HUV[/url][/img]

Dernière modification par Wiwaxia (14-01-2021 15:52:17)

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#32 14-01-2021 15:36:22

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Salut !

j'ai essayé d'enlever les #, mais où faut-il les enlever ?

Dans la création du message, avant de valider ? Ou autrement ?

Merci

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#33 14-01-2021 16:04:09

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Directement dans le message, avant validation.
Et il faut mettre l'adresse d'accès direct à l'image !
L'instruction

[img]https://www.cjoint.com/data3/KAojTiD4HUV_Atomium-de-Bruxelles-2018-08-03.png[/img]

fait apparaître l'image correspondante:
KAojTiD4HUV_Atomium-de-Bruxelles-2018-08-03.png

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#34 14-01-2021 17:13:34

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... 1°) Donc, dans un plan, tracez un quadrilatère convexe ABCD tel que les côtés soient [AB] « en haut », [BC] « à gauche », [CD] « en bas » et [DA] « à droite ». Placez un point M à l’intérieur strict dans le plan de ABCD … Joignez M aux 4 sommets. Vous venez de partager ABCD en 4 triangles contenus dans ABCD (et son plan) ! ...

Voilà qui est fait:

KAnoZGduIU0_Quadrilat%C3%A8re-ABCD.png

Bernard-maths a écrit :

On peut alors écrire : aire(ABCD) = aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA) ... / ...
3°) Et si M sort de ABCD ? Par exemple, poussez M un peu « au dessus » de AB, vous voyez alors un pentagone AMBCD qui contient strictement ABCD … la formule des aires n’est plus vraie ! Mais on a : aire(ABCD) < aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA) ...

L'additivité des aires est vérifiée dans le premier cas - et lui seul - parce que dans le plan orienté par le repère (xOy) l'enroulement du quadrilatère (ABCD) s'effectue dans le sens direct, de même que celui des triangles élémentaires (MAB, MBC, MCD, MDA) dont il est constitué.
Cela n'est plus vrai dès que le sommet commun (M) sort du domaine délimité par le contour du polygone, parce que le sens de l'enroulement de l'un des triangles est inversé: on observe par exemple que le triangle orienté (MAB) devient rétrograde.

Toute difficulté disparaît si l'on fait appel à l'aire algébrique des triangles, définie à partir du déterminant des deux vecteurs positions (MA, MB): Aire(MAB) = (1/2)Det(MA, MB) ;
la relation

Aire(ABCD) = Aire(MAB) + Aire(MBC) + Aire(MCD) + Aire(MDA)

devient alors valide quelle que soit la position du sommet commun (M);
le signe de chacun des termes est lié au sens de l'enroulement des triangles; il est par exemple négatif, dans le cas de la seconde figure, pour (MAB).

Il s'agit même de l'expression générale de l'aire délimitée par un polygone plan, comportant un nombre quelconque de sommets:

Aire(A1A2 ... AN) = (1/2)Σi=1NDet(MAi, MAj) , avec j = 1 + (i Mod N) ,

pourvu simplement qu'il soit convexe, donc dépourvu de boucle et de croisement.

Bernard-maths a écrit :

... 4°) Et si M sort du plan de ABCD ? Alors les longueurs des 4 segments MA, MB, MC et MD augmentent, donc les aires des 4 triangles aussi, donc on a le même résultat qu’en 3°) ! ...

Là, tu sors des limites de ton sujet en envisageant une construction tridimensionnelle !
Il s'agit rien moins que de l'aire de la surface latérale du cône de sommet (M), et s'appuyant sur le quadrilatère (ABCD).
Il faut pour cela définir:
a) le vecteur unitaire normal au plan de chaque triangle orienté:

UAB = (1/║MAΛMB║)*MAΛMB ,

b) puis le déterminant (produit mixte) des 3 vecteurs:

PAB = Det(UAB, MA, MB) = UAB.(MAΛMB) ;

L'aire envisagée admet alors pour expression générale:

Alat = (1/2)Σi=1N(Pij) .

Dernière modification par Wiwaxia (15-01-2021 15:50:43)

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#35 14-01-2021 20:04:19

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Voilà un bon début. J'ai connu la formule de calcul d'aire d'un polygone par les déterminants en 1976-77, dans le manuel d'applications de la calculatrice programmable HP25, la 1ère je crois. Mais moi je cherche une formule vraie uniquement pour les points intérieurs à un polygone, or cette formule est vraie pour M à l'extérieur aussi ... Je n'ai pas cherché plus ... Je reste avec l'approche géométrique non orientée ...

Donc polygone convexe ; et si M sort du plan ? C'est le sommet d'une PYRAMIDE, et je vérifie seulement que la formule des aires proposée n'est vraie QUE dans le plan du polygone, et dedans.

J'aborderai les formules en 3ème étape, et j'utiliserai le produit vectoriel, pour calculer les MHi ...

MAIS la 2ème étape n'est pas finie ! Somme(MHi) = n fois apothème ?

Bonne soirée, Bernard-maths


PS : je galère encore pour mettre une image !!!

Dernière modification par Bernard-maths (14-01-2021 20:05:25)

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#36 15-01-2021 10:00:27

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Il ressort de ce qui précède

Aire(A1A2 ... AN) = (1/2)Σi=1NDet(MAi, MAj) , avec j = 1 + (i Mod N) ,

et en introduisant la fonction dépendant de six coordonnées: F(M, i, j) = Det(MAi.MAj)
que l'intérieur du domaine (frontière incluse) délimité par un polygone plan à (N) sommets se caractérise par l'égalité:

Aire(A1A2 ... AN) = (1/2)Σi=1N|F(M, i, j)|

ou ce qui revient au même:

Σi=1N(F(M, i, j)) = Σi=1N|F(M, i, j)| .

L'égalité d'une somme de (N) termes avec celle de leurs valeurs absolues interdisant à chacun d'eux d'être négatifs, on en déduit:

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ;

la définition du polygone est bien un problème d'optimisation linéaire.

La transposition du problème dans l'espace à 3 dimensions s'effectue sans difficulté majeure, surtout si l'on se limite aux polyèdres réguliers ou archimédiens; il suffit pour cela de décomposer le solide en cônes (ou pyramides) de sommets commun (M), et s'appuyant sur chacune des faces.
Le volume du polyèdre à (F) faces est alors donné (puisqu'il y a eu partition du domaine, excluant tout vide ou recouvrement mutuel) par la relation:

V = (1/3)Σi=1F(hiSi) .

Il va de soi que les volumes élémentaires sont algébriques, comme les surfaces; ces dernières sont orientées par un vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur (intéressant problème de programmation, mais pas insurmontable dans le cas d'un polyèdre inscriptible dans une sphère).

# Une question reste en suspend: celle de l'apparition logique des sommes de valeurs absolues, posée dès le départ de cette intéressante discussion. Je pense sa résolution liée à la présence d'un centre de symétrie, et qu'il faut commencer par envisager des cas très simples.
Dommage que personne n'apporte des suggestions.

Bernard-math a écrit :

Je reste avec l'approche géométrique non orientée ...
Donc polygone convexe ; et si M sort du plan ? C'est le sommet d'une PYRAMIDE, et je vérifie seulement que la formule des aires proposée n'est vraie QUE dans le plan du polygone, et dedans ...

Tu n'échapperas pas aux figures orientées, si tu ne veux pas t'empêtrer dans des complications échevelées (voir plus haut).

Bernard-maths a écrit :

... MAIS la 2ème étape n'est pas finie ! Somme(MHi) = n fois apothème ? ...

Cela a été montré au message #25; en bref:

S = Constante = S(H°) = Σi=1N(h) = N.h .

Bernard-math a écrit :

... je galère encore pour mettre une image !!!

Il m'a fallu aussi beaucoup de temps pour mémoriser la bonne procédure. Il faut garder un exemple simple sous la main.

Dernière modification par Wiwaxia (15-01-2021 11:34:10)

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#37 15-01-2021 12:26:40

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Merci Wixaxia, mais je ne suis pas d'accord sur la galère ! Il FAUT rester DANS le polygone ...

Je viens de mettre sur GeoGebra une figure, "A_faire_éclater" .

C'est une belle bête, qui peut être un jeu pour certaines valeurs des paramètres, et qui possède ... une équation ... laquelle ?

On va persévérer pour l'image, à plus !

Bernad-maths

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#38 15-01-2021 18:40:59

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

...  Il FAUT rester DANS le polygone ...

Si l'on veut voir les frontières, il faut quand même bien les franchir ...

Bernard-maths a écrit :

... Je viens de mettre sur GeoGebra une figure, "A_faire_éclater" .
C'est une belle bête ...

Et où peut-on admirer l'animal ?

Bernard-maths a écrit :

... mais je ne suis pas d'accord sur la galère ! ...

Je me suis borné à reprendre tes suggestions par voie analytique, et les développements ne présentent pas de difficulté insurmontable !
Voici ce que donne la transposition algorithmique de l'égalité Σi=1N(F(M, i, j)) = Σi=1N|F(M, i, j)| .
Elle conduit à un résultat conforme aux prévisions dans le cas de tout polygone convexe:

KAprXZm6DN0_Polygones-convexes-N-=-2-7.png

Elle ne fonctionne plus dans le cas d'un polygone concave ou croisé:

KApr5Jlv5g0_Polygones-N=2-Concave-Crois%C3%A9.png

Voici le cœur du programme source


 PROGRAM Polygone;

 USES Crt, E_Texte, U_Copie_1F, Math;

 CONST Nsomm = 7;

 TYPE Tab_E = ARRAY[1..Nsomm] OF Reel;
      Ve_2D = RECORD  x, y: Z_32  END;
      Tab_V = ARRAY[1..Nsomm] OF Ve_2D;

 CONST LstX: Tab_E = (0.070, 0.500, 0.800, 0.950, 0.900, 0.350, 0.100);
       LstY: Tab_E = (0.070, 0.100, 0.200, 0.800, 0.950, 0.850, 0.550);

 VAR Polygone: Tab_V;

 PROCEDURE Segment(X1, Y1, X2, Y2: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST CoulA: Pixel = (0, 255, 0);
   VAR Dx, Dy, k, Np, Xm, Ym: Z_32; Kx, Ky: Reel;
   BEGIN
     Dx:= X2 - X1; Dy:= Y2 - Y1;
     Np:= 1;       Inc(Np, Abs(Dx)); Inc(Np, Abs(Dy));
     Kx:= Dx / Np; Ky:= Dy / Np;
     FOR k:= 0 TO Np DO
       BEGIN
         Xm:= X1; Inc(Xm, Round(k * Kx));
         Ym:= Y1; Inc(Ym, Round(k * Ky));
         Ma2[Xm, Ym]:= CoulA
       END
   END;

 PROCEDURE Trace_A;
   VAR i, j: Byte;
   BEGIN
     FOR i:= 1 TO Nsomm DO
       BEGIN
         j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
         Segment(Polygone[i].x, Polygone[i].y,
                 Polygone[j].x, Polygone[j].y, Matrice_2)
       END
   END;

 PROCEDURE Croix(L_1, H_1, Xc, Yc, Lc: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST CoulS: Pixel = (255, 0, 0);
   VAR x, Xmax, Xmin, y, Ymax, Ymin: Z_32;
   BEGIN
     Xmin:= Xc - Lc; IF (Xmin<0)   THEN Xmin:= 0;
     Xmax:= Xc + Lc; IF (Xmax>L_1) THEN Xmax:= L_1;
     Ymin:= Yc - Lc; IF (Ymin<0)   THEN Ymin:= 0;
     Ymax:= Yc + Lc; IF (Ymax>H_1) THEN Ymax:= H_1;
     FOR x:= Xmin TO Xmax DO Ma2[x, Yc]:= CoulS;
     FOR y:= Ymin TO Ymax DO Ma2[Xc, y]:= CoulS
   END;

 PROCEDURE Trace_S(La, Ha: Z_32);
   VAR k: Byte; Ha1, La1: Z_32;
   BEGIN
     La1:= La - 1; Ha1:= Ha - 1;
     FOR k:= 1 TO Nsomm DO
       Croix(La1, Ha1, Polygone[k].x, Polygone[k].y, 20, Matrice_2)
   END;

 FUNCTION Aire(Xp, Yp: Z_32; V1, V2: Ve_2D): Z_32;
   VAR Dx1, Dx2, Dy1, Dy2, p, q: Z_32;
   BEGIN
     Dx1:= V1.x - Xp; Dy1:= V1.y - Yp;
     Dx2:= V2.x - Xp; Dy2:= V2.y - Yp;
     p:= Dx1 * Dy2;   q:= Dx2 * Dy1; Result:= p - q
   END;

 PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST Delta = 0;
         Pzero: Pixel = (  0, 0,   0);
         Cfond: Pixel = (105, 0, 255);
   VAR i, j: Byte; Ds, S, Sc, Xc, Xm, Yc, Ym: Z_32; Px: Pixel;
   BEGIN
     Xc:= La DIV 2; Yc:= Ha DIV 2; Sc:= 0;
     FOR i:= 1 TO Nsomm DO
       BEGIN
         j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
         Ds:= Aire(Xc, Yc, Polygone[i], Polygone[j]);
         Inc(Sc, Ds)
       END;
     FOR Xm:= 0 TO (La - 1) DO
       FOR Ym:= 0 TO (Ha - 1) DO
         BEGIN
           S:= 0;
           FOR i:= 1 TO Nsomm DO
             BEGIN
               j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
               Ds:= Aire(Xm, Ym, Polygone[i], Polygone[j]);
               Inc(S, Abs(Ds))
             END;
           IF (Sc=S) THEN Px:= Cfond ELSE Px:= Pzero;
           Ma2[Xm,Ym]:= Px
         END
   END;

 PROCEDURE Init_Pol(VAR Pol_: Tab_V);
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 1 TO Nsomm DO
       WITH Pol_[k] DO BEGIN
                         x:= Round(LstX[k] * Larg_Image);
                         y:= Round(LstY[k] * Haut_Image)
                       END
   END;

 BEGIN
   Copie_F1;          // Copie d'un fichier initial
   Init_Pol(Polygone);          // Initialisation du polygone
   Calc_Mat_Im2(Larg_Image, Haut_Image, Matrice_2);          // Calcul de la matrice de pixels du corps de la seconde image
   Trace_A;          // Tracé des arêtes
   Trace_S(Larg_Image, Haut_Image);          // Pointage des sommets
   Creation_F2          // Création du fichier de la seconde image
 END.
 

Dernière modification par Wiwaxia (15-01-2021 21:20:45)

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#39 15-01-2021 19:43:38

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Wiwaxia, ton programme calcule-t-il l'aire d'un polygone ? Bien que j'aie enseigné la programmation en Basic, Pascal, langage "machine hexadécimal", je n'ai plus pratiqué depuis 25 ans ... ! Dommage, mais je ne peux plus tout faire encore.

En tout cas, merci pour les figures et le calcul.

Pour GeoGebra, en ouvrant GeoGebra 6 (six !), et en partant du menu ouvrir, on tombe sur une page proposant des applis libres d'accès.
Il faut chercher depuis le début "A_faire_éclater" que j'ai déposé ce matin.

J'aurais du mettre "Pour_s_éclater" ... La figure dépend de 5 paramètres, et peut donc prendre tout un tas de configurations !
L'équation est du même genre que pour "mon cube du début", en 3 facteurs ...

Mais si j'ai pondu cela ce matin, c'est d'abord une construction géométrique, qui doit correspondre à l'équation ... pourvu que ce soit bien vrai ! Il me reste à bien le vérifier, mais c'est "joli".

a,b et c sont les sommets d'un cube/parallélépipède. d fait varier les longueurs, et e les épaisseurs ...

A voir, pour le plaisir des yeux ... comme on dit au Sénégal.

Je vais me coucher tôt, j'ai dormi 5 heures seulement !

Cordialement, Bernard-maths

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#40 15-01-2021 21:08:04

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

... ton programme calcule-t-il l'aire d'un polygone ? ...

Oui, puisqu'il compare les deux termes de l'égalité

Σi=1N(F(M, i, j)) = Σi=1N|F(M, i, j)| ,

qui prennent des valeurs identiques en tout point intérieur au polygone;
les calculs sont effectués dans la procédure centrale Calc_Mat_Im2(Larg_Image, Haut_Image, Matrice_2)

 PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST Delta = 0;
         Pzero: Pixel = (  0, 0,   0);
         Cfond: Pixel = (105, 0, 255);
   VAR i, j: Byte; Ds, S, Sc, Xc, Xm, Yc, Ym: Z_32; Px: Pixel;
   BEGIN
     Xc:= La DIV 2; Yc:= Ha DIV 2; [color=#FF0000]Sc:= 0;
     FOR i:= 1 TO Nsomm DO
       BEGIN
         j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
         Ds:= Aire(Xc, Yc, Polygone[i], Polygone[j]);
         Inc(Sc, Ds)
       END;
     FOR Xm:= 0 TO (La - 1) DO
       FOR Ym:= 0 TO (Ha - 1) DO
         BEGIN
           S:= 0;
           FOR i:= 1 TO Nsomm DO
             BEGIN
               j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
               Ds:= Aire(Xm, Ym, Polygone[i], Polygone[j]);
               Inc(S, Abs(Ds))
             END;
           IF (Sc=S) THEN Px:= Cfond ELSE Px:= Pzero;
           Ma2[Xm,Ym]:= Px
         END
   END;

- au point central (Xc, Yc) de l'image pour la somme algébrique (Sc),
- en un point quelconque (Xm, Ym) pour la somme (S) les valeurs absolues.
Le facteur (1/2), qui disparaît dans la vérification de l'égalité, est absent de l'algorithme; l'aire du polygone correspond donc à la moitié des sommes calculées: A = S/2 .
Le calcul peut être effectué au niveau de l'isobarycentre (G) des (N) sommets, toujours situé à l'intérieur du polygone lorsque celui-ci est convexe; il peut éventuellement coïncider avec l'origine, par raison de symétrie, dans le cas d'un polygone régulier - c'est une affaire de conventions.

Repose-toi bien,
Cordialement, Wiwaxia.

Dernière modification par Wiwaxia (16-01-2021 07:59:20)

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#41 16-01-2021 10:39:58

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous !

En ce moment, on court après plusieurs lièvres ! 3, 4 ou 5 ?

Donc, je vais d'abord finir le 6°) de la 2ème étape, à ma façon ... Je repars de mes remarques du 14/1, en complétant :

"Le point M intérieur se projette en H1, H2, H3 ... Donc aire(MA1A2) = A1A2 x MH1 /2, etc ...

La formule des aires s'écrit donc : aire(A1A2...An) = (A1A2 x MH1 + A2A3 x MH2 + A2A3 x MH3 + ... + AnA1 x MHn) /2 !"

Soit : aire(A1A2...An) = A1A2 x ( MH1 +  MH2 +  MH3 + ... +  MHn) /2 !


"Car si le polygone est régulier convexe, A1A2 = A2A3 = A3A4 = ... =AnA1"

"et si M = O centre du polygone, on a aussi OH1 = OH2 = ... = OHn ..." = apothème !

"De plus les n triangles OA1A2, OA2A3, OA3A4, ... , OAnA1 sont égaux (isométriques), on peut donc facilement calculer

aire(A1A2 ... An) ..." = n fois aire(OA1A2) = n fois AA2 x OH1 /2 !


On a donc : aire(A1A2...An) = A1A2 x ( MH1 +  MH2 +  MH3 + ... +  MHn) /2 = n fois A1A2 x OH1 /2

et en simplifiant par A1A2 / 2, on trouve que : Somme (MHi) = n fois apothème.

Voilà qui clôt pour moi la 2ème étape ...

Bientôt la 3ème étape, qui va s'occuper de calculer, par des formules, l'équation d'un polygone convexe plein, DANS l'espace ...


A tout à l'heure ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-01-2021 10:41:15)

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#42 16-01-2021 13:57:10

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

... En ce moment, on court après plusieurs lièvres ! 3, 4 ou 5 ?

Plusieurs certainement, tant cette discussion suscite de questions diverses, dont celle de l'introduction des équations aux valeurs absolues, qui ne présente pas la moindre difficulté ... Cela a déjà été dit:

...  Une question reste en suspend: celle de l'apparition logique des sommes de valeurs absolues, posée dès le départ de cette intéressante discussion. Je pense sa résolution liée à la présence d'un centre de symétrie, et qu'il faut commencer par envisager des cas très simples ...

J'ai ma petite idée là-dessus, mais il y a parfois loin entre une vague intuition et des résultats bien établis ... Il faut y aller progressivement.

Bernard-maths a écrit :

... Bientôt la 3ème étape, qui va s'occuper de calculer, par des formules, l'équation d'un polygone convexe plein, DANS l'espace ...

La voie est toute tracée: il suffit de raisonner sur les volumes.

... La transposition du problème dans l'espace à 3 dimensions s'effectue sans difficulté majeure, surtout si l'on se limite aux polyèdres réguliers ou archimédiens; il suffit pour cela de décomposer le solide en cônes (ou pyramides) de sommets commun (M), et s'appuyant sur chacune des faces.
Le volume du polyèdre à (F) faces est alors donné (puisqu'il y a eu partition du domaine, excluant tout vide ou recouvrement mutuel) par la relation:

V = (1/3)Σi=1F(hiSi) .

Il va de soi que les volumes élémentaires sont algébriques, comme les surfaces; ces dernières sont orientées par un vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur (intéressant problème de programmation, mais pas insurmontable dans le cas d'un polyèdre inscriptible dans une sphère) ...

# L'algorithme de définition du domaine délimité par un polygone convexe peut être simplifié, sachant que l'égalité entre une somme de (N) termes et celle de leurs valeurs absolues équivaut à affirmer que chacun de ces termes est positif ou nul:

Il ressort de ce qui précède

Aire(A1A2 ... AN) = (1/2)Σi=1NDet(MAi, MAj) , avec j = 1 + (i Mod N) ,

et en introduisant la fonction dépendant de six coordonnées: F(M, i, j) = Det(MAi.MAj)
que l'intérieur du domaine (frontière incluse) délimité par un polygone plan à (N) sommets se caractérise par l'égalité:

Aire(A1A2 ... AN) = (1/2)Σi=1N|F(M, i, j)|

ou ce qui revient au même:

Σi=1N(F(M, i, j)) = Σi=1N|F(M, i, j)| .

L'égalité d'une somme de (N) termes avec celle de leurs valeurs absolues interdisant à chacun d'eux d'être négatifs, on en déduit:

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ;

la définition du polygone est bien un problème d'optimisation linéaire

Désolé pour ces auto-citations insistantes, dues à la nécessité de reprendre des textes assez longs.
Voici les images obtenues dans les cas d'un polygone à 5 sommets
a) par le programme initial, qui vérifie l'égalité des deux sommes:

Σi=1N(F(M, i, j)) = Σi=1N|F(M, i, j)| .

b) par un second programme, basé sur le test:

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ;

KAqhQFiprV0_2-pentagones.png
les domaines obtenus sont identiques.
La procédure centrale est ici plus courte:

 FUNCTION F_Test(x, y: Z_32): Bool;
   VAR i, j: Byte; S: Z_32; Test: Bool;
   BEGIN
     Test:= True;
     FOR i:= 1 TO Nsomm DO
       BEGIN
         j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
         S:= Aire(x, y, Polygone[i], Polygone[j]);
         IF (S<0) THEN Test:= False
       END;
     Result:= Test
   END;

 PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST Delta = 0;
         Pzero: Pixel = (  0, 0,   0);
         Cfond: Pixel = (105, 0, 255);
   VAR i, j: Byte; Ds, S, Sc, Xc, Xm, Yc, Ym: Z_32; Px: Pixel;
   BEGIN
     FOR Xm:= 0 TO (La - 1) DO
       FOR Ym:= 0 TO (Ha - 1) DO
         BEGIN
           IF F_Test(Xm, Ym) THEN Px:= Cfond ELSE Px:= Pzero;
           Ma2[Xm,Ym]:= Px
         END
   END;          

Dernière modification par Wiwaxia (16-01-2021 14:56:47)

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#43 16-01-2021 16:52:16

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous, et à Wiwaxia !

Wiwaxia, je vois que tu accélères ! Et tu ajoutes un lièvre de plus ...

En effet il faut simplifier, en regardant des cas plus simples, avec des symétries !

La méthode "générale" que je développerai (?)en 3ème étape, est plutôt dure à mettre en oeuvre, et je passerai ensuite à des cas plus simples pour lesquels une autre approche est possible, et que je préfère !

Tu évoques des solides, et comme je te l'ai dit, j'utilise des pyramides symétriques par un sommet commun ...

En effet une pyramide régulière de base polygone convexe régulier, a une propriété : pour un point de la base (intérieur à), la somme des distances aux côtés obliques est constante !

Ce qui doit mener tout droit à une équation des polyèdres réguliers, archimédiens entre autres ... et du cuboctaèdre ! (à un piège près)

Car alors on utilise des équations de distances à des plans, au 1er degré, alors que la méthode "en cours" utilise des calculs de distances avec Racine(somme de carrés) ...

C'est cette approche que je compte développer ensuite. MAIS si tu ajoutes un lièvre plus près que les autres, on peut s'en occuper tout de suite ! C'est sans doute plus intéressant que de tourner autour d'une méthode peu utilisable ... SAUF dans des cas simples où les calculs se simplifient !

Alors, que fait-on ?

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-01-2021 17:30:07)

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#44 17-01-2021 09:31:17

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... En effet il faut simplifier, en regardant des cas plus simples, avec des symétries ! ...

Il faut aborder le cas particulier des polygones convexes centrosymétriques, comme celui représenté ci-dessous:
KAril1qf3z0_Hexagone-centrosym%C3%A9trique.png
On peut alors associer 2 par 2 les arêtes, et envisager d'introduire (c'est là le problème !) une relation du type

|W(x, y) - 1| + |W(x, y) + 1| = 2  quand -1 ≤ W ≤  1 ,

formellement apparentée à ce que tu as utilisé en début de discussion.
Les figures proposées auparavant en exemple sont dépourvues de centre de symétrie, de sorte qu'il n'est pas possible d'aller au delà de la série d'inéquations (ou tout autre résultat équivalent)

Det(MAi.MAj) ≥ 0 pour tout (i) de [1 ; N] ,

en ce qui concerne l'équation cartésienne vérifiée sur le domaine.

Bernard-maths a écrit :

... comme je te l'ai dit, j'utilise des pyramides symétriques par un sommet commun ...
En effet une pyramide régulière de base polygone convexe régulier, a une propriété : pour un point de la base (intérieur à), la somme des distances aux côtés obliques est constante ! ...

C'est en effet une observation astucieuse, mais je ne vois pas pour l'instant en quoi elle pourrait être utile - mais après tout, pourquoi pas ? Développe cette idée.
Cette propriété découle de la relation générale déjà indiquée

3.V = Σi=1F(hiSi) .

dans le cas particulier de la pyramide régulière pourvue de (N) sommets et (F = N) faces, et caractérisée par un axe de symétrie d'ordre (N - 1), normale au polygone de base et passant par son centre; on obtient alors:

h1 = 0 (pour la surface de base, d'indice 1) ,
S2 = S3 = ... = SN (pour les faces latérales) ,

ce qui conduit à:

Σi=2N(hi) = 3.V/SN .

Bernard-maths a écrit :

... alors on utilise des équations de distances à des plans, au 1er degré, alors que la méthode "en cours" utilise des calculs de distances avec Racine(somme de carrés) ...

Tout à fait d'accord.

Bernard-maths a écrit :

... MAIS si tu ajoutes un lièvre plus près que les autres, on peut s'en occuper tout de suite ! C'est sans doute plus intéressant que de tourner autour d'une méthode peu utilisable ... SAUF dans des cas simples où les calculs se simplifient !
Alors, que fait-on ? ...

Trouver le procédé permettant d'établir, à l'aide de valeurs absolues,  l'équation cartésienne d'un domaine polygonal plan, puis ensuite tenter de passer en dimension 3 ... si c'est possible ! Si j'ai donné l'impression d'être sorti du sujet de la discussion, c'est que je me suis mal exprimé.

Dernière modification par Wiwaxia (17-01-2021 09:34:22)

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#45 17-01-2021 11:13:26

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour !

Il y a plusieurs voies possibles que j'ai explorées. Après les calculs d'équations de surfaces, il est possible d'utiliser des équations de volume (polyèdre plein), et générer alors des équations de surfaces de nouveaux polyèdres ... Voir discussion #10, ou le cube tronqué aux arêtes et aux coins possède une équation de surface (pour chaque figure possible), et c'est à partir d'une équation de cube plein (caché au centre) que cette équation de surface est générée !

Y'a encore de quoi s'amuser !!!

Je suis en train de finir "l'étape 3", avec un exemple concret, mais je galère dans les erreurs de calcul ...

Après on passe aux pyramides ?

Cordialement, Bernard-maths

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#46 17-01-2021 15:44:31

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Et hop ! Un lièvre de plus !

je viens de relire ton affaire de W, et ça me rappelle une technique, que j'appelle "des bandes de plan" !
Sur ta figure, si tu traces les 3 bandes définies par A1A2 et A4A5, par A2A3 et A5A6, et par A3A4 et A6A1, de largeurs l1, l2 et l3, alors une équation de ton polygone peut être : (MH1+MH4) + (MH2+MH5) + (MH3+MH6) = l1 + l2 + l3 ... H1 = projection de M sur [A1A2], etc ...

Et ça marche aussi si il y a un nombre pair de côtés, qui sont opposés parallèles MAIS pas forcément égaux ... pas de centre de symétrie.

ET SURTOUT ça peut marcher aussi pour un polygone convexe (toujours) quelconque, en traçant éventuellement une parallèle à (presque) chaque côté, parallèle qui passe par un (bon) sommet "opposé" !!! Pratique aussi si n est impair ...


C'est une technique que j'ai expérimentée, dans un plan ...

On peut étendre cette technique à l'espace, avec des tranches d'espace ... On a alors des équations de polyèdres pleins !


Alors ? On suit quel lièvre ?


Pour ma 3ème étape, je galère toujours, pourquoi ces erreurs ?
Donc je laisse tomber pour le moment, et je la balancerai quand ce sera au point.
Mais cette méthode me semble lourde et mène à des équations compliquées ...


Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2021 15:54:28)

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#47 17-01-2021 23:10:07

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... ça me rappelle une technique, que j'appelle "des bandes de plan" !
Sur ta figure, si tu traces les 3 bandes définies par A1A2 et A4A5, par A2A3 et A5A6, et par A3A4 et A6A1, de largeurs l1, l2 et l3, alors une équation de ton polygone peut être : (MH1+MH4) + (MH2+MH5) + (MH3+MH6) = l1 + l2 + l3 ... H1 = projection de M sur [A1A2], etc ...

Et ça marche aussi si il y a un nombre pair de côtés, qui sont opposés parallèles MAIS pas forcément égaux ... pas de centre de symétrie.

ET SURTOUT ça peut marcher aussi pour un polygone convexe (toujours) quelconque, en traçant éventuellement une parallèle à (presque) chaque côté, parallèle qui passe par un (bon) sommet "opposé" !!! Pratique aussi si n est impair ...

Pour les calculs, je ne sais pas encore, mais on est d'accord sur l'essentiel du procédé.
Le calcul est relativement facile dans le cas des polynômes à nombre pair de sommets, et présentant un centre de symétrie.

On s'aperçoit lors de l'élaboration du programme que des variantes sont possibles. Des formules dissymétriques permettent une adaptation à un nombre impair de sommets; l'ajustage des paramètres est cependant assez laborieux (je ne suis pas parvenu à obtenir le triangle).

KArwVsI8vW0_Q2-2-polygones-4-ommets.png
KArwXUJN6t0_Q4-Octogone-et-triangle.png

La zone violette correspond à F(x, y) = 0 , la zone verte à 0 < F(x, y) < K (valeur positive);
la ligne verte, définie par l'égalité F(x, y) = K , n'apparaît qu'en pointillés (ou pas du tout) dans la plupart des cas.

Les fonctions utilisées apparaissent dans le programme source.


 FUNCTION Fabxy01(A_, B_, x, y: Z_32): Z_32;
   VAR s, Sab, Wx, Wy: Z_32;
   BEGIN
     s:= A_ + B_;      Sab:= 2 * s;
     Wx:= Abs(x - A_); Inc(Wx, Abs(x + A_));
     Wy:= Abs(y - B_); Inc(Wy, Abs(y + B_));
     s:= Wx + Wy;      Dec(s, Sab);
     Result:= s
   END;

 FUNCTION Fabxy02(A_, B_, x, y: Z_32): Z_32;
   VAR s, Sab, W1, W2, z: Z_32;
   BEGIN
     s:= A_ + B_;      Sab:= 2 * s;
     z:= 2 * x;        Inc(z, 3 * y);
     W1:= Abs(z - A_); Inc(W1, Abs(z + A_));
     z:= 2 * x;        Dec(z, 3 * y);
     W2:= Abs(z - B_); Inc(W2, Abs(z + B_));
     s:= W1 + W2;      Dec(s, Sab);
     Result:= s
   END;

 FUNCTION Fabxy03(A_, B_, x, y: Z_32): Z_32;
   VAR s, Sab, W1, W2, W3, z: Z_32;
   BEGIN
     s:= A_ + B_;          Sab:= 4 * s;
     W1:= Abs(x - A_);     Inc(W1, Abs(x + A_));
     Inc(W1, Abs(y - A_)); Inc(W1, Abs(y + A_));
     z:= x + y;            W2:= Abs(z - B_); Inc(W2, Abs(z + B_));
     z:= x - y;            W3:= Abs(z - B_); Inc(W3, Abs(z + B_));
     s:= W1;               Inc(s, W2 + W3);  Dec(s, Sab);
     Result:= s
   END;

 FUNCTION Fabxy04(A_, B_, x, y: Z_32): Z_32;
   VAR Ak, Bk, s, Sab, W1, W2, W3, z: Z_32;
   BEGIN
     Ak:= 5 * A_;          Bk:= 5 * B_;
     Sab:= 6 * A_;         Inc(Sab, 12 * B_);
     W1:= Abs(x - A_);     Inc(W1, Abs(x + Ak));
     z:= x; Inc(z, 2 * y); W2:= Abs(z - B_); Inc(W2, Abs(z + Bk));
     z:= x; Dec(z, 2 * y); W3:= Abs(z - B_); Inc(W2, Abs(z + Bk));
     s:= W1;               Inc(s, W2 + W3);  Dec(s, Sab);
     Result:= s
   END;

 PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST Pzero: Pixel = (  0,   0,   0);
         Cfond: Pixel = (105,   0, 255);
         P010: Pixel =  (  0, 255,   0);
   VAR s, Sc, Xc, Xm, Yc, Ym: Z_32; Px: Pixel;
   BEGIN
     Xc:= La DIV 2; Yc:= Ha DIV 2;
     FOR Xm:= 0 TO (La - 1) DO
       FOR Ym:= 0 TO (Ha - 1) DO
         BEGIN
           s:= Fabxy04(40, 60, Xm - Xc, Ym - Yc);
           IF (s=0) THEN Px:= Cfond
                    ELSE IF (s<60) THEN Px:= P010
                                   ELSE Px:= Pzero;
           Ma2[Xm,Ym]:= Px
         END
   END;          

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#48 18-01-2021 07:26:51

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour !

Bien vu, les figures sont très belles !

Pour un triangle plein, j'ai fait ça il y a pas mal de temps (3 ans ?), je crois me souvenir que la formule pourrait être pour un triangle A1A2A3 : MH1 sin(A3) + MH2 sin(A1) + MH3 sin(A2) = cte, j'ai oublié le détail !

Donc essaye en identifiant cte avec M = un sommet ...

Je crois avoir trouvé que dans un triangle quelconque, on a : a sin(A) = b sin(B) = c sin(C), que j'ai retrouvé plus tard avec les formules du triangle : a ha = b hb = c hc , etc ... ??? Il peut y avoir une erreur ...

Bon amusement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 07:31:16)

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#49 18-01-2021 07:37:52

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Suite ...

Pour un triangle ABC, on peut tracer par chaque sommet la parallèle au côté opposé, on applique la méthode des bandes ...

(MH+MH') + (HI+MI') + (MJ+MJ') = ha + hb + hc ...  avec H et H' projections de M sur (BC) et la parallèle, etc ...

Comparer les 2 méthodes, et voir la plus "performante", selon les situations ?

A plus !

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 07:39:23)

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#50 18-01-2021 08:13:48

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Eh oui, là j'ai des choses à dire, puisque déjà étudié ! (en partie !)

Il me semble que tes formules ne sont pas exactement les mêmes que les miennes ...
En effet, partant de F(x,y) = 0, en ajoutant K à droite, j'obtiens une figure qui a des côtés parallèles égaux à la figure de départ, reliés aux angles par des segment "en biais" ! Multiplication par 2 des côtés et des angles.

Si F(x,y) = 0 est un polygone convexe régulier ou à centre de symétrie (ou ?), les côtés parallèles sont à la distance K/2.

C'est bon pour le rectangle et le parallélogramme, mais pas pour les 2 autres !?

SI F(x,y) = 0 est convexe quelconque, les côtés parallèles sont à des distances différentes, plus les côtés sont longs, et plus la distance est courte ! Je soupçonne peut être une relation liée aux aires ??? A étudier ...


Ces courbes, je les ai appelées "lignes de niveau".

On peut aussi mettre un exposant n sur les termes de F(x,y) = K ... je les appelle "acolytes en puissances" ...
On peut aussi créer n'importe quelle expression F(x,y) = 0, et ajouter K à droite ... ça peut donner des courbes aussi.


Il y a plein de trucs à essayer, que je n'ai pas encore fait ... alors, la chasse est ouverte : y'a plein de lièvres à débusquer !

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 08:26:23)

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