Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mati

Membre

Inscription : 16-05-2018

Messages : 133

edo d'ordre 1

Bonjour,
j'essaye de résoudre l'équation suivante en utilisant la méthode du facteur intégrant
$$
(x^2+1) y'+3x y = 6 x
$$
on pose $y(x_0)=y_0$. Je commence par diviser les deux membres de l'équation par $(x^2+1)$, ce qui nous donne
$$
y' + \dfrac{3x}{x^2+1}= \dfrac{6x}{x^2+1}
$$
puis le principe est de multiplier les deux membres par $\exp(\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1})$.
Mais quand on multiplie les deux membres de l'équation par $\exp(\dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1))$
On a
$$
\displaystyle\int _{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1} = \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{2 s}{s^2 +1} ds = \dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1)= -\dfrac{9}{4}(x_0^2+1)(x^2+1)$$, on obtient pas la méthode du facteur intégrant.
Où est le problème?

Cordialement

Chlore au quinoa

Membre

Inscription : 06-01-2021

Messages : 305

Re : edo d'ordre 1

Bonsoir !

J'ai essayé la méthode et elle marche très bien.

Dans une équation différentielle ordinaire du type [tex] y' + P(x)y = Q(x)[/tex], multiplier de chaque côté par [tex]exp(\int P(t)dt )[/tex] (n'importe quelle primitive suffit, tu t'embêtes avec ton [tex] x_0[/tex]) permet de retrouver la dérivée d'un produit à gauche du signe égal.

J'ai fait le calcul en prenant l'intégrale de [tex]0[/tex] à [tex]x[/tex] histoire d'annuler le ln, et quand je multiplie de chaque côté ça me donne :

[tex](x^2 + 1)^{3/2} y'(x) + 3x\sqrt{x^2 + 1} y(x) = 6x(x^2 + 1)[/tex]

Ensuite tu remarqueras que la dérivée de [tex](x^2 + 1)^{3/2} y(x)[/tex] est..... ce qui te permettra de savoir quelle intégrale il te reste à calculer !

Si je ne suis pas clair n'hésite pas.

Adam.

---

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 470

Re : edo d'ordre 1

Bonjour,

Je suppose que depuis le temps, le problème est résolu ...

Pour celui qui cela intéresse, voici une méthode alternative pour résoudre ce type d'équation.

(x²+1)y' + 3xy = 6x
y' + (3x)/(x²+1) * y = 6x/(x²+1)

Poser y(x) = u(x) * v(x)
y' = u.v' + u'.v

L'équation devient :
u.v' + u'.v + (3x)/(x²+1) * u.v = 6x/(x²+1)

u(v' + (3x)/(x²+1) * v) + u'.v = 6.x/(x²+1)

Déterminer un v tel que v' + (3x)/(x²+1) * v = 0
v'/v = -(3x)/(x²+1)
v = 1/(x²+1)^(3/2)

L'équation devient alors :
u'.v = 6.x/(x²+1)
u'.1/(x²+1)^(3/2)= 6.x/(x²+1)
u' = 6x.(x²+1)^(1/2)
du = 6x.(x²+1)^(1/2) dx
On intègre :
u = 2 * (x²+1)^(3/2) + K

Et donc : y = [2 * (x²+1)^(3/2) + K] * 1/(x²+1)^(3/2)
y = 2 + K/(x²+1)^(3/2)

Dernière modification par Black Jack (09-01-2021 10:12:27)