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#1 25-09-2020 15:16:54

Renéb
Invité

Devinette

Bonjour,

Je me suis appuyé sur Python pour analyser l'évolution d'opérations (au sens manipulations) successives sur un nombre d'éléments donnés.
Puis, juste pour partager (si vous voulez), je suis passé au dessin pour illustrer le tout et en couleur s'il vous plait.
Voici un dessin qui est une mise en forme de l'évolution de résultats à la suite des manipulations, très concrètes, de tous ces éléments donnés. Ces résultats sont sources de curiosités et m'invitent à poursuivre des investigations (heureusement avec l'aide de python qui fait le plus gros du travail).

Cela vous dit-il quelque chose?
Vous pouvez essayer de deviner si vous le souhaitez par un jeu de questions réponses.

Un indice?:  52_4

1601041554-52-4.png

En tous cas, je me suis bien amusé à mettre au pas python pour qu'il crache ce résultat; il m'évoque une fleur.

Bien le bonsoir.

R.

#2 18-12-2020 19:26:52

Renéb
Invité

Re : Devinette

Bonjour ou bonsoir c'est selon,

La curiosité découverte pourrait se formuler ainsi :

«  Après un certain nombre de manipulations d'éléments distribués de manière ordonnée, un à un, à un nombre de positions, apparaît, toujours*, une répartition charnière qui inaugure une boucle stabilisée, tournant à l'infini. »

La mettant en graphique (post 1), la boucle (rouge) correspond aux pétales , la tige (verte), à l'amorce conduisant à la répartition charnière.

L 'exemple (52_4) :

Pour 52 éléments distribués à 4 positions  on découvre :

Répartition qui se répète:   [15, 10, 5, 22] en 9 ème rang,     position 2


[0, 0, 0, 52]        Commencement de la distribution des 52 éléments à 4 positions
[13, 13, 13, 13]    Donc 13 à chacune.
[3, 17, 16, 16]        résultat de la distribution des 13 éléments de la position 0
[7, 4, 21, 20]        résultat de la distribution des 17 éléments de la position 1
[12, 9, 5, 26]        résultat de la distribution des 21 éléments de la position 2
[19, 16, 11, 6]        etc.
[4, 21, 16, 11]
[9, 5, 22, 16]
[15, 10, 5, 22]        Répartition qui se répétera => départ de la boucle.

Nbre de répartitions de la boucle:   4
[15, 10, 5, 22]
[21, 16, 10, 5]
[5, 22, 15, 10]
[10, 5, 21, 16]
[15, 10, 5, 22]

Passage à la répartition bouclage [9, 5, 22, 16] ou [10, 5, 21, 16] depuis la position 2.

Cela veut dire que depuis la position 2 ( 0,1,2), la répartition [9, 5, 22, 16] ou cette autre [10, 5, 21, 16] deviennent toute les deux [10, 5, 21, 16] (répartition bouclage).

Qu'est-ce que c'est que cette « convergence » de ces deux séries de répartitions (l'amorce et la boucle) ?

Tout cela inspire-t-il quelqu'un et pourrait-elle me donner des références sur des études déjà faites dans ce domaine ?

R.



*Un autre exemple ?
Pour 729 éléments répartis entre 14 places cela donne :

nbre de répartitions amorces de la boucle:   60
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 729]
[53, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52, 52]
[…,   ]
[13, 6, 97, 90, 83, 76, 70, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21]

nbre de répartitions de la boucle:   14

[13, 6, 97, 90, 83, 76, 70, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21]
[20, 13, 6, 97, 90, 83, 77, 70, 63, 56, 49, 42, 35, 28]
[…, ]
[6, 97, 90, 83, 76, 69, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21, 14]

Passage à la répartition bouclage [7, 96, 90, 83, 76, 69, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21, 14] ou
[6, 97, 90, 83, 76, 69, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21, 14] depuis la position 1
(merci python)

#3 20-12-2020 07:27:29

Wiwaxia
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Re : Devinette

Bonjour,

Il s'agit d'une ligne brisée fermée, s'enroulant 4 fois autour de l'origine, donc de période égale à 8π .

Les coordonnées des sommets sont liées à des suites imbriquées du type uk = a + b*(k MOD 4).

Dernière modification par Wiwaxia (27-12-2020 18:45:17)

Hors ligne

#4 20-12-2020 23:04:37

Renéb
Invité

Re : Devinette

Bonjour, bonsoir c'est selon.

Merci pour vous être penché sur ce sujet.
Puis-je espéré une observation, une réponse, une ressource plus détaillée ? J'ai des difficultés à suivre la succincte réponse donnée et à arriver à la comprendre.

Pour ce qui est de la place des sommets de la boucle, je détaille ( graphique du post 1) :
Positions des places distribuées autour de l'origine :
« 0 »=180°, « 1 »=90°,« 2 »=0°, « 3 »=-90°

La distribution mécanique peut commencer

« 0 »1 « 2 »3 »
Départ est en position 3  =>  *   :
           *
[15, 10, 5, 22]             22 éléments distribués à quatre places :
         -22
+5,+5,+5 ,+5        = 20  => restent 2
+1,+1,+0,+0        = 2
--------------------
[21, 16, 10, 5]       
Départ est en position 0  =>  *   :
  *
[21, 16, 10, 5]        21 éléments distribués à quatre places :
-21
+5,+5,+5 ,+5        = 20  => restent 1
+0,+1,+0,+0        = 1
--------------------
[5, 22, 15, 10]       

Pareil pour
       *
[5, 22, 15, 10]   
             *
[10, 5, 21, 16]
Pour arriver, enfin, à la répartition du début.

           *
[15, 10, 5, 22]

« Les coordonnées des sommets sont liées à des suites imbriquées du type uk = a + b*(k MOD 4). »
c'est ici que je ne suis plus. Faut dire que mes mises à jour sont très lointaines.

J'observe néanmoins que les diagonales des couches de répartitions de la boucle forment une série d'un même nombre  ou d'une paire de nombres.
A suivre.

R.

#5 27-12-2020 18:29:58

Wiwaxia
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Re : Devinette

Bonjour,

J'avais très sommairement indiqué la direction à suivre, pour la recherche d'un algorithme.

Renéb a écrit :

... Puis-je espéré une observation, une réponse, une ressource plus détaillée ? J'ai des difficultés à suivre la succincte réponse donnée et à arriver à la comprendre.
... / ...
« Les coordonnées des sommets sont liées à des suites imbriquées du type uk = a + b*(k MOD 4). »
c'est ici que je ne suis plus. Faut dire que mes mises à jour sont très lointaines ...

Le sujet se prête à de nombreuses digressions, qui m'ont incité à différer toute réponse.

1°) Considérons les 16 points situés à l'intersection des axes du repère avec une spirale divergente s'enroulant autour de l'origine, depuis le point (M0) de coordonnées cartésiennes (-1, 0) - exprimées en unités arbitraires.
La position des points successifs (M0 ... M15) s'exprime alors simplement en coordonnées polaires, puisque l'angle orienté θk = (Ox, OMk) varie d'un droit (90°) d'un point au suivant: θk = (k - 2)π/2 .
La coordonnée radiale rk = OMk prend alors 16 valeurs entières aisément repérables, consignées dans la liste initiale (Liste0), et desquelles on déduit celles des coordonnées cartésiennes:

xk = rk.Cos(θk) ; yk = rk.Sin(θk) .

F

2°) De cette liste initiale, on en déduit 4 autres par des calculs appropriés:
a) la première s'obtient en retranchant (1) de chaque terme initial: Liste1[k] = Liste0[k) - 1 ;
les valeurs sont alors toutes comprises entre (0) et (3).
b) la seconde (c'est l'étape la moins évidente) est une suite monotone croissante, qui se déduit de la précédente en ajoutant (4) autant que nécessaire, de telle sorte que chaque terme ne soit pas inférieur au précédent:

Liste2[k] ≥ Liste2[k - 1];

on a par conséquent:

Liste2[k] = Liste1[k] + 4 (pour 6 ≤ k <11)
Liste2[k] = Liste1[k] + 8 (pour 11 ≤ k) ;

le calcul fait intervenir les fonctions parties décimale et entière du réel (x): Dec(x) = x - Floor(x) ;
les valeurs s'obtiennent de la façon suivante:

si Dec(k/4) < 1/4 alors Liste2[k] = 3.Floor(k/4) sinon Liste2[k] = k - 1 - Floor(k/4) ;

F

c) la troisième liste correspond au reste de la division euclidienne par (4) des termes de la liste précédente:

Liste3[k] = Liste2[k] MOD 4 ,

la dernière à l'ajout de 1 : Liste4[k] = Liste3[k] + 1 ; celle-ci coïncide bien avec la liste initiale.

Dernière modification par Wiwaxia (01-01-2021 14:43:08)

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#6 27-12-2020 18:58:18

Wiwaxia
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Re : Devinette

Voici, en confirmation de ce qui précède, le programme source relatif à l'édition des 4 listes précédentes (rédigé en Pascal).

 PROGRAM Rayon_Spirale;

 USES Crt, E_Texte, Math;

 CONST Nmax = 16;
 TYPE Tab_E = ARRAY[0..Nmax - 1] OF Byte;

 CONST LstR: Tab_E = (1, 1, 2, 3, 4, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 4);

 VAR Lst1, Lst2, Lst3, Lst4: Tab_E;

 PROCEDURE Init_L3L4(VAR L_3, L_4: Tab_E);
   VAR Er, j, k: Byte; Dr, r: Reel;
   BEGIN
     FOR j:= 0 TO (Nmax - 1) DO
       BEGIN
         r:= j / 4;        Er:= Floor(r); Dr:= r - Er;
         IF ((4 * Dr)<1) THEN k:= 3 * Er
                         ELSE BEGIN
                                k:= j - Er; Dec(k)
                              END;
         L_3[j]:= k MOD 4; L_4[j]:= L_3[j] + 1
       END
   END;

 PROCEDURE Init_L2(VAR L_: Tab_E);
   VAR Er, j, k: Byte; Dr, r: Reel;
   BEGIN
     FOR j:= 0 TO (Nmax - 1) DO
       BEGIN
         r:= j / 4; Er:= Floor(r); Dr:= r - Er;
         IF ((4 * Dr)<1) THEN k:= 3 * Er
                         ELSE BEGIN
                                k:= j - Er; Dec(k)
                              END;
         L_[j]:= k
       END
   END;

 PROCEDURE Init_L1(VAR L_: Tab_E);
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 0 TO (Nmax - 1) DO L_[k]:= LstR[k] - 1
   END;

 PROCEDURE Ligne(y, c: Byte; VAR L_: Tab_E);
   CONST w = 4;
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     E(c); We(9, y, L_[0], w);
     FOR k:= 1 TO (Nmax - 1) DO Write(L_[k]:w)
   END;

 PROCEDURE Aff_L;
   CONST C1= 4;
   BEGIN
     E(1015); Wt(C1,  4, 'Liste initiale'); Ligne( 6, 10, LstR);
     Init_L1(Lst1);
     E(0015); Wt(C1,  9, 'Liste 1');        Ligne(11, 14, Lst1);
     Init_L2(Lst2);
     E(0015); Wt(C1, 14, 'Liste 2');        Ligne(16, 14, Lst2);
     Init_L3L4(Lst3, Lst4);
     E(0015); Wt(C1, 19, 'Liste 3');        Ligne(21, 14, Lst3);
     E(0015); Wt(C1, 24, 'Liste 4');        Ligne(26, 13, Lst4); A_
   END;

 BEGIN
   Aff_L;
 END.

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#7 28-12-2020 09:23:51

Wiwaxia
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Re : Devinette

On obtient le tracé de la spirale soit par le raccordement des 16 points successifs par des segments rectilignes (graphe 1) ou des arcs de cercles ou d'ellipses (graphe 2), soit par une combinaison linéaire des 16 points à l'aide d'une fonction continue de période 1 et vérifiant:

F(0) = F(1) = 1 ; F(k/N) = 0 (pour k = 1, 2, ... (N - 1)) .

F
F

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#8 06-01-2021 15:15:41

renéb
Invité

Re : Devinette

Bonjour,

Merci bien d'avoir élaboré et illustré une digression intéressante du sujet.
J'ai bien compris qu'il s'agit du lien des coordonnées des sommets avec des « suites imbriquées ».
En partant de la distribution de 10 éléments à 4 places une boucle se forme ( liste initiale), succession des différentes quantités distribuées aux quatre places.
A partir de cette liste, Sont formées 3 autres listes traitées de manière différentes pour, finalement coïncider avec la liste initiale (liste 4).

Que sont-ce que ces listes 1,2,3   ?
Au départ de la liste initiale, elles aboutissent (liste 2 ) à une spirale presque régulière.

Voici la spirale (liste 2) en graphe :

mini_210106030448466990.png

Cet algorithme ne semble pas être généralisable (par ex. 52é par 4p  ??).


Si je reviens au début de ces échanges, je ne suis pas bien avancé.

Reprenons l'exemple de la distribution de 10 éléments à 4 places :

[[0, 0, 0, 10], [3, 3, 2, 2], [0, 4, 3, 3], [1, 1, 4, 4], [2, 2, 1, 5], [4, 3, 2, 1], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 4, 3], [3, 2, 1, 4], [4, 3, 2, 1]]

Boucle (qui se répète):   [4, 3, 2, 1] en 6 °rang , depuis la place 3

Nbre de séries amorces de la boucle:   6
[[0, 0, 0, 10], [3, 3, 2, 2], [0, 4, 3, 3], [1, 1, 4, 4], [2, 2, 1, 5], [4, 3, 2, 1]]
nbre de séries de la boucle:   4
[[4, 3, 2, 1], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 4, 3], [3, 2, 1, 4]]
Passage à la série bouclage [2, 2, 1, 5] ou [3, 2, 1, 4] depuis la place 3
--------------------------------------------------------------

« Qu'est-ce que c'est que cette « convergence » de ces deux états  ([2, 2, 1, 5] et [3, 2, 1, 4] ) qui, distribués depuis la place 3, aboutissent à l'amorce de la boucle spiralée ?

A suivre peut-être.

C'est marrant, j'observais, il y a quelques semaines:

«    En poussant les curseurs , on s’aperçoit que, pour certaines répartitions (parmi une infinité) , les sommets prennent la forme d'une  spirale des plus inattendue.
Rien d'étonnant somme toute, ce phénomène on le retrouve partout dans la nature ; pensez au tournesol, à la pomme de pin, au chou,  …
Ces spirales comportent (toujours semble-t-il) des irrégularités (comme dans la nature).

mini_210106025130645190.png  21 _ 13   mini_210106030004515252.png  401 _ 119   mini_210106030117752873.png   52 _ 16   mini_210106030302848237.png   55 _ 89   mini_210106031624809138.png   54 _ 104

R.

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