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LEG

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répartition aléatoire des nombres premiers

Bonjour

Souvent on pense que la répartition des nombres premiers est aléatoire, car on ne peut pas définir exactement leur position dans un ensemble d'entiers naturels ou lorsque l'on tire au hasard un entier naturel sans savoir si il va être premier ou pas...

Je pense que dans ce contexte c'est l'action de choisir qui est aléatoire.

Car curieusement lorsque l'on fixe une limite 2n , par exemple 300 ou plus , afin de visualiser ce qui se passe réellement dans la répartition des nombres premiers, on peut montrer que cette répartition n'a absolument rien d'aléatoire.

La conjecture de Goldbach m'a permis de faire ressortir cette propriété étonnante ... Grâce au programme de l'algorithme ( Yoshi ).

Qui aurait dit que les indices des restes de $2n$ Par $P$ avec $P\leqslant\sqrt(2n)$ qui vont permettre d'extraire les nombres premiers $q\in[n ; 2n]$ dans une suite d'entiers positifs $A$ , en progression arithmétique de raison 30, n'ont absolument rien d'aléatoire !

En effet : pour $2n = 600$ la racine de 600 est < 24 ; donc les nombres premiers > 5 sont : $7,11,13,17,19,23,29$ ils ne sont pas pris au hasard , mais dans leur ordre naturels. Si on calcule leurs restes $R$ de $600$ par $P$ on obtient les $R : 5,6,2,5,11,2$.

En augmentant 2n de 30 , 630 : il est évident que les $R$ vont changer , par contre on aura le même nombre de nombres premiers $P\leqslant\sqrt(630)$ ; on pourrait penser au vu des $R$ calculés, que c'est aléatoire, les $R : 0,3,6,1,3,9$.

Et bien il n'en est rient ! Pourquoi ...?

Le calcule des $indices$ qui vont permettre de cribler ie: les entiers $A\equiv{2n}[P]$ de 1 à n , donc d'extraire les nombre premiers $q$ de 300 à 600, par pas de $P$.
Par exemple, pour la famille 7 modulo 30 ou $30k + 7$ se calcule de la façon suivante ("car on veut extraire les premiers de 300 à 600 en progression arithmétique et ce, quelque soit l'une des 8 familles 30k + i, avec $i \in(1,7,11,13,17,19,23)$ on va donc cribler les entiers $A =30k +7$ congruent à P, pour obtenir les nombres premiers $q$ de sa Famille complémentaire les $30k + 23\in{[300;600]}$ ")

On part de $R$ puis on ajoute $P$ jusqu'à ce que $(R + kP) = j$ soit égal à 30k+7, c'est à dire : j %30 == 7 , puis on calcule cet index idx : $j // 30 = idx$ ensuite suivant le principe d'Ératosthène mais dans les congruences, on marque par pas de $P$ les entiers $A\equiv{2n} [P]$. ("@Yoshi me corrigera si mon explication n'est pas bonne, car il connait parfaitement son programme")
Jusque là , rien d'anormal ou de curieux ...

Si on augmente $n$ de $15$ soit 315 donc $2n = 630$ curieusement les indices se décalent d'un rang , ce qui n'est pas le cas des $R$ alors que les nombres premiers $P$ qui vont cribler cette nouvelle limite $n$, sont les mêmes et < 25 .

Pourquoi ces indices sont parfaitement ordonnés et ne se décalent que d'un rang lorsque la limite $n$ augmente de $15$, donc $2n$ augmente de $30$ ???
Peut on prouver que quelque soit la limite $n + 15$ cela sera toujours le cas ???

La réponse est oui. Car en effet lorsque $n$ augmente de 15 pour la limite suivante, $2n$ augmente de 30 ; par conséquent quelque soit l'entier $A$ de 1 à n congru ou pas modulo $P$ ne peut varier, c'est à dire $2n - A$ est équivalent à $(2n+30) - (A+30)$ d'où on aura toujours la même égalité pour la limite suivante $n = 15(k+1)$ le contraire serait absurde. Et ce : quelque soit la Fam(i) fixée avec sa limite $n$ c'est 8 Fam(i) qui sont en progression arithmétique de raison 30.

On en déduit que quelque soit la limite $n$ et la Fam(i) fixée où la conjecture ayant été vérifiée, il est impossible d'affirmer ou même de supposer que pour la limite $n=15(k+1) + i$ elle serait fausse, c'est à dire qu'il n'existerait pas de solution, car il faudrait pour cela 3 conditions impossibles à réaliser :

(" Il faudrait utiliser pour la limite suivante $15(k+1)+i$ les R précédents de la limite $15(k-1) + i$ et les nouveaux R de la limite en question ce qui est absurde, mais aussi qu'il n'y ait plus de nombres premiers p' de 1 à n consécutifs ou précédés d'un entier A non congru (mod P) tout autant absurde car on supposerait que l'égalité ci -dessous est fausse.")

On en déduit même, un nombre de solutions oscillatoires et non nulles, avec la fonction : $\frac{(Gn)}{Ln\:(Gn)}$ où $G(n)$ est le nombre d'entiers $A\not\equiv{2n}\;[P]$ correspondant aux nombres de nombres premiers $q\in\;[n ; 2n]$.

Car en effet le nombre de solutions vérifiées pour une limite $n$ et sa Fam(i) fixée, correspond exactement à l'unité près, au nombre de solutions précédentes de la limite $n = 15(k-1) + i$ , qui précèdent un nombre premier $p'$ congru ou pas modulo $P$ avec $2n$. Ce qui est une conséquence de l'égalité ci-dessus, conforme au TFA (Théorème Fondamentale de L'Arithmétique) le contraire serait absurde ("un nombre premier ne peut se transformer en produit et inversement lorsque la limite n augmente de 15 , et donc 2n augmente de 30 on en déduit d'ailleurs qu'un seul inconnu : le premier terme des entiers A criblés.")

Dernière modification par LEG (01-03-2021 08:00:08)

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Re : répartition aléatoire des nombres premiers

Bonjour et meilleurs voeux à toute l'équipe de ce Site et que 2021 se finisse mieux que 2020 avec une pandémie enrayée...Bonne santé à tous ,
@Yoshi : merci pour ta contribution pour le  Forum de programmation
Amitiés LEG

Dernière modification par LEG (02-01-2021 08:37:37)

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Re : répartition aléatoire des nombres premiers

Bonjour à tous

voici ci joint, un résumé simplifié de mon post  ci-dessus , sur la résolution de cette conjecture ...
https://www.cjoint.com/c/KCbh21213s2