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#1 26-12-2020 23:19:11

kosh75
Membre
Inscription : 26-12-2020
Messages : 1

Les rois et les sujets

Bonjour à tous,

J’aimerais vous présenter une expérience de pensée, un paradoxe sur l’infini que j’ai conceptualisé… mais qui existe peut-être déjà sous une autre forme depuis des décennies (en sciences, philosophie et mathématiques, on peut souvent avoir l’impression d’inventer quelque chose alors qu’il n’en est rien).

A mon sens ça reprend un peu les bases de l’hôtel de Hillberg. Un peu seulement.

Voici donc mon histoire…

Nous sommes dans un univers infini.
Un univers composé d’une infinité de systèmes solaires, qui chacun possède ces caractéristiques :

. Différentes planètes, totalisant 100 milliards de sujets.
. Une toute petite planète, composée d’un seul être, qui est le roi du système solaire.

Chaque roi gouverne le système solaire qu’il habite. Bien entendu, son pouvoir et ses privilèges sont innombrables, tandis que ses sujets ont tous une existence assez ingrate.

L’univers est gouvernée par un dieu ayant décidé que toute personne qui décède se réincarne en être humain. En toute logique, chaque personne qui décède se réincarne donc soit en sujet, soit en roi, quelque part dans cet univers infini (à ce stade, les chances de se réincarner quelque part dans son propre système solaire sont mathématiquement nulles).

Lorsqu’une personne décède, pour décider de sa prochaine incarnation, le protocole est toujours le même. Dieu a devant lui la totalité des chiffres, de 1 à l’infini. Les 100 premiers milliards de chiffres correspondent à des réincarnations en tant que sujets, le 100 milliard unième correspond à une réincarnation en tant que roi… et ainsi de suite à l’infini.
Dieu ferme les yeux et pose son doigt au hasard sur un chiffre, ce qui décide de l’incarnation de la personne à venir.

Et ainsi, en permanence et à l’infini pour tout décédé.

Les sujets sont moroses ! Chacun sait qu’il n’a jamais qu’une chance sur 100 milliards (et un) de devenir roi lors de sa prochaine incarnation.

L’archange numéro 1 de Dieu souhaite leur redonner le moral. Mais comment faire ? Dieu ne souhaite rien changer aux données de son système.

Pourtant, l’archange parvient à convaincre son maître de modifier un ordre tout en respectant ses règles.

Il se dit : « si dans cette « ligne infinie du hasard » chaque réincarnation-sujet est numérotée ainsi, il suffit de faire une bijection en numérotant différemment. Dorénavant, chaque réincarnation-roi portera un nombre impair (1, 3, 5, 7… à l’infini) et chaque réincarnation-sujet un nombre pair (2, 4, 6, 8… à l’infini). »

Ainsi, Dieu, désormais, a toujours devant lui la totalité des nombres existants, mais à présent tout chiffre impair correspond à une réincarnation-roi, tout chiffre pair à une réincarnation-sujet.

Les sujets reprennent goût à la vie : pensez, chacun vient de passer à une chance sur 100 milliards de devenir roi à… une chance sur 2 !

L’archange, constatant qu’avec l’infini et les bijections les possibilités sont justement illimitées, décide d’aller encore plus loin.
Il décide que dans l’ensemble des nombres, chaque réincarnation-sujet portera un numéro multiple de 100 milliards, et chaque réincarnation-roi portera… un numéro non multiple de 100 milliards.
Ainsi, désormais, les choses se sont inversées : chaque sujet qui meurt à 100 milliards de chances de devenir roi, et seulement 1 seule et unique chance de devenir sujet.

Nous avons 2 infinis dénombrables (infinité de sujets / infinité de rois). Ce type de bijections est donc possible quels que soient les chiffres. Il pourrait y avoir tout aussi bien dans chaque système solaire 10 puissance 100 milliards de milliards de sujets pour un seul et unique roi…
Et pourtant, lors d’un décès, que la personne ait 10 puissance 100 milliards de milliards de chances de devenir roi, et seulement un seul et unique risque de devenir sujet.

J’en ai parlé à un mathématicien, ancien prof de math sup math spé, qui y a longtemps réfléchi, puis en a pas mal débattu avec un codeur :–)
La conclusion du mathématicien est que ce n’est qu’un paradoxe apparent, qu’en réalité il n’y en a pas.
La conclusion du codeur est que les données du problème ne sont pas correctes.
Ma conclusion perso : le paradoxe est réel. Il ne présente pas de « couacs » mathématiques, pas d’erreurs. Autrement dit si un tel univers existait réellement, l’opération de l’archange fonctionnerait réellement. Mais le paradoxe reste pour moi entier, car avec des mêmes données on peut changer radicalement les probabilités.

Qu’en pensez-vous ?

Je ne prétends rien apporter d’incroyable, simplement je n’avais jamais vu, à ma connaissance, d’expérience de pensée de ce type (qui s’appuie bien entendu sur des mécanismes connus) et j’aimerais avoir vos impressions et analyses.

Hors ligne

#2 28-12-2020 08:52:17

Matou
Invité

Re : Les rois et les sujets

Bonjour,

J'ai réfléchi un peu à ton expérience de pensée. Je ne suis pas vraiment très calé en probabilité sur les ensembles infinis et j'espère ne pas raconter trop de bêtises.

Je pense que le point central de ton raisonnement est qu'il y a une bijection entre l'ensemble des rois et l'ensemble des sujets. J'estime également que le fait que ces ensembles soient dénombrables n'intervient pas vraiment dans l'analyse du problème.

Je te propose une expérience ludique et une critique de ce que tu as écrit.

1/ Un jeu à réaliser.
Comme je n'aime pas trop réfléchir avec de très grands nombres, je te suggère de réaliser l'expérience suivante : prends un grand morceau de carton de couleur blanche, dessine dessus quatre cercles concentriques de rayon 1, 2, 3 et 4. Peins en rouge l'anneau entre les circonférences de rayon 1 et 2 et en noir entre 3 et 4. Tu obtiens une cible très convenable pour jouer aux fléchettes. A l'époque où les bars et autres lieu de socialisation étaient encore ouverts, on pouvais y jouer avec des copains en utilisant un peu de bière pour uniformiser les probabilités d'atteindre sa cible....
L'anneau rouge a une aire égale à $3 \cdot \pi$ et l'anneau noir a une aire de $7 \cdot \pi$.
Joue aux fléchettes avec ta famille (en ces temps de fêtes, c'est plutôt sympa) et tu vas observer que la probabilité de toucher l'anneau noir est $\frac{7}{3}$ fois supérieure à celle de toucher l'anneau rouge.
Pourtant, on peut réaliser une correspondance terme à terme entre les deux anneaux en associant à chaque point rouge $(r, \theta)$, un point noir $(r+2, \theta)$.
On a donc bien deux ensembles infinis en bijection sur lesquels on choisit les points au hasard (là, il faudrait peut-être préciser les lois de probabilité...) et cela conduit à des résultats non paradoxaux.

2/ Une critique
Dans l'axiomatisation des probabilités sur un ensemble E infini, on définit une fonction P de l'ensemble des parties de E vers [0, 1], telle que P(E) = 1 et telle que la probabilité définie pour une réunion d'ensembles disjoints soit la somme des probas pour chaque ensemble.
Dans ton exemple, un roi possède $n-1$ sujets. Soit $E_i$ l'ensemble des entiers naturels congrus à $i$ modulo $n$. Les $E_i$ forment une partition de l'ensemble des entiers naturels et peuvent aisément être mis en bijection les uns avec les autres.
Si on forme une probabilité telle que le fait initialement l'archange ($E_0$ pour le roi et $E_1$ à $E_{n-1}$ pour les sujets), les axiomes de probabilité énoncés ci-dessus conduisent inéluctablement à dire qu'on a une chance sur $n$ d'être dans $E_i$ .
Maintenant, si on fait la réunion $A$ des ensemble $E_i$ pour $i$ variant de $1$ à $n$, on obtient une procédure équivalente à la  deuxième proposée par l'archange facétieux.$E_0$ et $A$ sont en bijection et les axiomes ci-dessus conduisent à proposer P($E_0$) = P($A$) = $\frac{1}{2}$.
On voit alors d'où vient le problème : il n'est pas licite de choisir une probabilité sur un ensemble infini basée sur le cardinal des sous ensembles du moins tel que le fait l'archange.
Il faut se choisir une probabilité a priori, compatible avec les axiomes et ne plus en changer après coup.

Voilà, j'espère qu'un spécialiste de ces questions pourra mettre son grain de sel pour préciser les points à éclaircir dans mon texte.

Cordialement

Matou

#3 30-12-2020 23:56:04

kosh
Invité

Re : Les rois et les sujets

Merci pour ta réponse !
Je ne peux y apporter aucune réponse car je ne la comprends pas, je n'ai pas ce niveau en maths. Pour la comprendre il faudrait que je me penche là-dessus des jours durant, j'avoue ne pas trop être à même de faire l'investissement...

#4 31-12-2020 07:37:59

Matou
Invité

Re : Les rois et les sujets

Bonjour,

Dommage, ce n'est pas encore trop compliqué, surtout que tu connais l'hôtel de Hilbert !

Je profite de cette réponse pour remarquer que j'ai fait une petite erreur : l'ensemble $A$ que j'ai défini, c'est la réunion des $E_i$ pour $i$ compris entre $1$ et $n-1$.

Cordialement

Matou

#5 31-12-2020 13:56:17

Kosh
Invité

Re : Les rois et les sujets

Ce que je pense avoir saisi :
l'expérience de pensée ne serait pas acceptable mathématiquement parlant car on ne peut pas parler d'une probabilité de choisir un nombre au hasard parmi une infinité de nombre.
Dieu choisissant un nombre sur une "ligne infinie" n'aurait pas de sens.
J'ai cru comprendre à peu près la démonstration mathématique.
Par contre, à mon sens dans une expérience de pensée on fait justement intervenir des éléments qui ne seraient pas possibles en dehors de l'imaginaire.
Je n'ai personnellement pas de peine à imaginer un dieu capable de choisir un nombre au hasard dans un entier N, Dieu est badass ou alors ce n'est pas Dieu. Et à partir de là, je constate qu'avec les mêmes données on peut numéroter de sorte qu'une personne décédant ait (par exemple) soit 1 chance sur 1 milliards de devenir roi, soit au contraire 1 chance sur 1 milliard de devenir sujet.
Après je veux bien admettre qu'il y ait un élément considéré comme impossible par les mathématiciens.

#6 31-12-2020 22:41:47

kosh
Invité

Re : Les rois et les sujets

mais si mais si

bonne année à toi aussi

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