calcule de la surface et le périmètre d'un triangle avec ses angles

Einstein · 25-12-2020 01:15:09

Bonjour tout le monde
il y'avait une question que je trouve intéressante
Est-ce qu'on peut calculer la surface et le périmètre d'un triangle quelconque en utilisant seulement ses angles ?
et en plus est-ce qu'on peut avoir un triangle caractérisé par l'équation S=P avec S est la surface et P et le périmètre ?
j'attend vos réponses
Cordialement

Einstein · 25-12-2020 12:16:28

Bonjour
Personne n'a critiqué ce sujet :(
En fait si vous trouvez ses questions banales c'est absolument qu'ils ont des réponses

yoshi · 25-12-2020 13:01:32

Bonjour,

Hé, ho, l'homme, aujourd'hui c'est Noël et nous sommes des bénévoles pas des robots, nous avons aussi une vie de famille.
Toute question même banale mérite réponse. Qui sommes-nous pour juger de la banalité ?
La première question appelle une réponse simple.
La 2e, un peu moins, j'ai aussi une réponse, j'étais en train d'en chercher une autre mais je viens de m'apercevoir que tu n'as pas posé cette question (deux droites perpendiculaires ont pour produit de leurs coefficients directeurs, -1)

Par contre pour S = P. J'ai besoin de temps, d'autres passeront peut-être qui auront une idée plus claire.
Je vais peut--être tenter une approche via programmation (avec des côtés à valeurs entières, mais dans ce cas je doute avoir une réponse)
Laisse-moi le temps de rédiger.

@+

yoshi · 25-12-2020 13:11:06

Bonjour,

1ere question.
Réponse.
Non, un bon dessin valant mieux qu'un long discours,voilà :

Les 3 angles sont les mêmes et les triangles pourtant différents...

Deuxième question.
J'ai commencé avec la formule de Héron d'Alexandrie.
a, b, c étant les longueurs des 3 côtés, p le demi-périmètre, S la surface, on a
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Mais les calculs me paraissent bien longs...

@+

Einstein · 25-12-2020 13:27:13

Mr yoshi merci pour s'intéresser à ce sujet
Moi je pense qu'on peut jouer avec les formules trigonométriques et même avec la loi de sinus
j'espère que je vous ais aidé
Cordialement

tibo0 · 25-12-2020 14:02:39

Salut, et Joyeux Noël à tous !

Pour le problème $S=P$, il y a un problème de dimension. Une longueur et une surface n'ont pas la même unité.
Du coup, avant de chercher à résoudre le problème, il faudrait chercher à lui donner un sens.

yoshi · 25-12-2020 15:14:14

Salut,

@tibo.
On est bien d'accord.
Alors, je pense qu'il faut traduire la question comme ça :
hors problèmes d'unités différentes, existent-il des triangles dont le périmètre et l'aire s'expriment au moyen du même nombre ?
Question pas facile...

@+

Einstein · 25-12-2020 15:38:48

Vous avez raison Yoshi pour votre question (hors problèmes d'unités différentes, existent-il des triangles dont le périmètre et l'aire s'expriment au moyen du même nombre ?)
En fait lorsqu'on fait plusieurs homothéties sur un triangle on va avoir une infinité de triangle dont les angles sont les même bien sure .
parmi ces triangle on va avoir un seul triangle caractérisé par l'équation S=P
Pour ce là je vais vous donner cette formule S=P=(2(sin a + sin b + sin c)^2)/(sin a * sin b * sin c).

Et avec cette formule on peut répondre à un autre problème: calculer la surface et le périmètre du triangle caractérisé par les angles a=55 b=45 c=80 et par l'équation S=exp(pi)*P

yoshi · 25-12-2020 16:09:47

Re,

Pour ce là je vais vous donner cette formule S=P=(2(sin a + sin b + sin c)^2)/(sin a * sin b * sin c).

Si tu connaissais la réponse, alors pourquoi poser la question ? Pour arriver à coller provisoirement quelqu'un ?
Gagné !
Je vais donc retirer illico ma réponse à ton autre sujet, vu que tu as probablement là aussi la réponse...
Il fallait mettre ton sujet dans les énigmes.

@+

Einstein · 25-12-2020 16:23:56

Regardes bien yoshi
En fait c'est pas un énigme c'est une formule comme la formule de Heron. En plus elle parle de l'unicité du triangle
Je te propose de donner cette formule à d'autre personnes car je la trouve très utile pour résoudre des problèmes comme ce que j' ais proposé
Merci

Omhaf · 25-12-2020 16:46:00

Bonjour,
Soient les côtés d'un triangle rectangle A=5 , B=12, Hypoténuse= 13
S= 30 P = 30
autre cas A=6 B=8 Hypoténuse=10

cordialement,

Dernière modification par Omhaf (25-12-2020 16:50:23)

yoshi · 25-12-2020 18:43:59

Salut,

Pour moi, une énigme c'est un sujet, une question dont on connaît la réponse, et qu'on pose la cantonade pour voir si quelqu'un trouve ladite réponse. En gros, une devinette un plus élaborée, quoi.
Concernant ta première question, je l''avais interprétée comme ceci
Etant donné deux triangles semblables, peut-on trouver le même périmètre dans les deux cas ? la même aire dans les deux ?
@omhaf
Tes deux exemples m'ont donné à réfléchir
6, 8 10 dérive de 3,4,5.
(3,4,5) et (5,12,13) sont les premiers triplets Pythagoriciens.
n étant un premier impair (si seulement impair alors, c'est un multiple)
Les triplets Pythagoriciens sont donnés par $\left(n, \frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2}\right)$
Le Périmètre P d'un tel triangle est $P= n+\frac{n^2-1}{2}+\frac{n^2+1}{2}=n(n+1)$
Son aire $\mathcal A$ est $\mathcal A=\dfrac{n\times \frac{n^2-1}{2}}{2}=\frac{n(n^2-1)}{4}$

Existe-t-il k entier non nul tel que le triplet $\left(kn,\frac{k(n^2-1)}{2},\frac{k(n^2+1)}{2}\right)$ soit tel que $\mathcal A=P$ ?

$\mathcal A= \frac{k^2n(n^2-1)}{4}$ et $P=kn(n+1)$
$\frac{k^2n(n^2-1)}{4}=kn(n+1)$
$\Leftrightarrow$
$kn(n^2-1)=4n(n+1)$
$\Leftrightarrow$
$kn(n+1)(n-1)-4n(n+1)=0$
$\Leftrightarrow$
$n(n+1)[k(n-1)-4]=0$
$\Leftrightarrow$
$n(n+1)((kn-k-4)=0$
Les solutions n=0 et n-1 sont à rejeter, reste $k(n-1)=4$ soit $k=\frac{4}{n-1}$
Si n=3, on a k=2 et on retrouve (6,8,10), (3,4,5) ne marchant pas. Pas d'autre multiple entier, ni rationnel.
Si n=5 et on retrouve (5,12,13), pas de multiple entier, ni rationnel
Si n=7, on a k = 2/3 pas entier.
Si n=11, on a k = 2/5 pas entier.
Si n= 13, on a k = 1/3 pas entier.
Si n= 17, on a k = 1/4 pas entier.
il n'y a plus de solutions entières...

@+

Wiwaxia · 26-12-2020 09:14:14

Bonjour,

tibo0 a écrit :

... Pour le problème $S=P$, il y a un problème de dimension. Une longueur et une surface n'ont pas la même unité.
Du coup, avant de chercher à résoudre le problème, il faudrait chercher à lui donner un sens.

Yoshi a écrit :

@tibo.
On est bien d'accord.
Alors, je pense qu'il faut traduire la question comme ça :
hors problèmes d'unités différentes, existent-il des triangles dont le périmètre et l'aire s'expriment au moyen du même nombre ?

Pour que le problème ait un sens, il faut introduire une distance arbitraire (L) afin de rendre homogène la relation en cause, et écrire

S = L.P .

En s'aidant par ailleurs des égalités:

A/Sin(a) = B/Sin(b) = C/Sin(c) ; a + b + c = 180° ; P = A + B + C ; S = AB.Sin(c)/2 ,

on doit pouvoir parvenir à un résultat pour tout triangle de forme donnée, caractérisée par les angles (a, b).

Dernière modification par Wiwaxia (26-12-2020 11:10:29)

Wiwaxia · 26-12-2020 10:03:46

Cela devrait donner:

A/Sin(a) = B/Sin(b) = C/Sin(c) = P/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ,

d'où:

A = P.Sin(a)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
B = P.Sin(b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
C = P.Sin(a + b)/(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) ;
S = P²Sin(a)Sin(b).Sin(c)/2(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² .

L'équation S = LP devient:

P.Sin(a)Sin(b)Sin(a + b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b))² ,

ou plus simplement:

C.Sin(a)Sin(b) = 2L.(Sin(a) + Sin(b) + Sin(a + b)) .

Calculs à vérifier.

# On peut aussi proposer une autre forme d'énoncé: S = K.P²
dans laquelle (K) représente un facteur sans dimension, et ne peut dépasser un certain seuil qu'il serait intéressant de déterminer.

Dernière modification par Wiwaxia (26-12-2020 11:29:34)

Einstein · 26-12-2020 13:20:26

Ce que tu as dit Wiwaxia pour (S=LP) est géniale.
Mais just que ce L=R*((sin a * sin b * sin c)/(sin a + sin b +sin c)) avec R est le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
Pour mon problème que j'ais proposé (calculer la surface et le périmètre du triangle caractérisé par les angles a=55 b=45 c=80 et par l'équation S=exp(pi)*P) c'est just qu'il faut comprendre que cette exp(pi) et le rapport de l'homothétie de ce triangle quand cherche par rapport au triangle unité qui est caractérisé par l'équation S=P .
J'espère que mon sujet vous a amusé avec la trigonometry.
Cordialement

Wiwaxia · 26-12-2020 15:04:21

Einstein a écrit :

... Pour mon problème que j'ais proposé (calculer la surface et le périmètre du triangle caractérisé par les angles a=55 b=45 c=80 et par l'équation S=exp(pi)*P) c'est just qu'il faut comprendre que cette exp(pi) et le rapport de l'homothétie de ce triangle quand cherche par rapport au triangle unité qui est caractérisé par l'équation S=P ...

Je ne vois vraiment pas la raison du choix de cette valeur: Exp(π) = 23.140 692 ...
N'y aurait-il pas un malentendu ?

Dernière modification par Wiwaxia (26-12-2020 15:06:46)

Einstein · 26-12-2020 15:52:40

C'est un triangle parmi des milliers de triangles.
Je peut changer cette exp(pi) par 2 ou pi ou e.
En fait quand je change L je change la surface et le périmetre du triangle mais pas ses angles.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 25-12-2020 01:15:09

calcule de la surface et le périmètre d'un triangle avec ses angles

#2 25-12-2020 12:16:28

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#3 25-12-2020 13:01:32

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#4 25-12-2020 13:11:06

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#5 25-12-2020 13:27:13

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#6 25-12-2020 14:02:39

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#7 25-12-2020 15:14:14

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#8 25-12-2020 15:38:48

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#9 25-12-2020 16:09:47

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#13 26-12-2020 09:14:14

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