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#1 05-02-2006 15:19:10
- Manu918
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- Messages : 28
espaces vectoriels: 2 questions
svp , ca ne m'a pas l'air trés dur mais je n'y arrive pas, aidez moi svp :
1) soit E un IK-ev de dimension finie n. soit F et G de sev de E verifiant dimF + dimG>n. Montrer que F inter G different de {0}
2) soit E un IK-ev de dimension finie n, et H1, H2 deux hyperplans distincts de E. Calculer dim(H1 inter H2). Indication : on pourra montrer que H1 inter H2 est un hyperplan de H1
merci d'avance
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#2 06-02-2006 09:37:05
- J2L2
- Invité
Re : espaces vectoriels: 2 questions
tu sais que l'on a : dim (F+G)=dimF + dim G - dim (FinterG)
donc : dim (F inter G) = dimF + dim G - dim (F+G)
or dimF + dimG > n et dim (F+G) <= n puisque F+G est un sev de E
on en tire : dim (F inter G) > n-n = 0 donc F inter G est un sev de dim au moins
égale à 1 et ne peut être réduit à {0}.
#4 06-02-2006 21:26:03
- Manu918
- Membre
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- Messages : 28
Re : espaces vectoriels: 2 questions
merci j2l2, ca m'aide
tu sais que l'on a : dim (F+G)=dimF + dim G - dim (FinterG)
donc : dim (F inter G) = dimF + dim G - dim (F+G)
or dimF + dimG > n et dim (F+G) <= n puisque F+G est un sev de E
on en tire : dim (F inter G) > n-n = 0 donc F inter G est un sev de dim au moins
égale à 1 et ne peut être réduit à {0}.
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#5 25-07-2022 14:01:40
- stfj
- Membre
- Inscription : 10-11-2021
- Messages : 35
Re : espaces vectoriels: 2 questions
bonjour,
2) [tex]H_1[/tex] est un hyperplan de E, distinct de [tex]H_2[/tex]. Soit [tex]h_2 \neq 0[/tex] un vecteur de [tex]H_2[/tex] n'appartenant pas à [tex]H_1[/tex]. Comme [tex]H_1[/tex] est un hyperplan, [tex]E[/tex] est alors somme directe de [tex]H_1[/tex] et de [tex]\mathbb K h_2[/tex] (*). Proposons-nous de montrer alors que [tex]H_2[/tex] est somme directe de [tex]H_1 \cap H_2[/tex] et de [tex]\mathbb K h_2[/tex]. Soit [tex]x \in H_2[/tex]. Alors [tex]x=h_1+k.h_2[/tex] d'après (*). [tex]h_1 \in H_1[/tex] d'une part; d'autre part, [tex]h_1=x-k.h_2 \in H_2[/tex]. Donc [tex]H_2[/tex] est bien somme de [tex]H_1 \cap H_2[/tex] et de [tex]\mathbb Kh_2[/tex]. Le fait que la somme est directe est évident. Donc [tex]H_1 \cap H_2[/tex] est un hyperplan de [tex]H_2[/tex]. La dimension cherchée est donc n-2.
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Par exemple, dans l'espace affine [tex]\mathbb R^3[/tex], l'intersection de deux plans distincts est une droite. Le raisonnement précédent en constitue une démonstration, la seule que je connaisse pour ma part. Mais ce raisonnement est plus général :dans l'espace affine [tex]\mathbb R^4[/tex], l'intersection de deux hyperplans distincts est un plan ... etc.
Dernière modification par stfj (25-07-2022 14:30:25)
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