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#1 26-09-2020 15:26:58
- azer1957
- Invité
exercice de logique
Bonjour
aidez moi à terminer la résolution de cet éxercice
montrer que l équation (E) : [tex]an^3+bn^2+cn+d=0[/tex] avec [tex]a;b;c;d[/tex] entiers relatifs impairs et [tex]n\in \mathbb Z[/tex]
Montrer que cette équation n admet pas de solutions rationnelles
j ai procédé par absurde
supposons que (E) admet une solution rationnelle donc il existe [tex](p,q) \in \mathbb Z\times \mathbb N^{\star}[/tex] p et q premiers entre eux et [tex]\frac{p}{q} [/tex] solution de (E)
donc [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2+dq^3=0[/tex]
on a deux cas soit (p et q sont de parités différentes ) ou ( p et q tous les 2 impairs)
le dernier cas n aurait pas lieu sinon p et q ne serait pas premiers entre eux
si p pair et q impair alors [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2[/tex] est pair et par suite [tex]p^3+bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est impair absurde (0pair)
si p impair et q pair [tex]bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est pair et par suite [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est impair absurde (0pair)
reste à traiter le deuxème cas et trouver une contradiction
et merci
cordialement Mrini
#2 27-09-2020 12:03:58
- Matou
- Invité
Re : exercice de logique
Bonjour,
il y a plusieurs points que je ne comprends pas, autant dans ton travail que dans l'énoncé :
Si j'ai bien compris, tu affirmes que deux entiers impairs ne sont jamais premiers entre eux. Pourtant, j'ai l'impression que 3 et 5 sont premiers entre eux.
Deuxièmement, à partir du moment où tu as obtenu ton équation $ap^3+bp^2q...$, p et q jouent des rôles symétriques, tu ne devrais pas te poser de question pour finir.
Enfin, et c'est le plus ennuyeux, l'équation $27n^3+9n^2+3n-3=0$ admet 1/3 comme solution si mes calculs sont bons. Du coup, j'ai comme un problème avec ton énoncé.
Cordialement
Matou
#3 27-09-2020 13:03:55
- Matou
- Invité
Re : exercice de logique
Ré,
Je viens de comprendre, tu as écrit "le dernier cas n'aura pas lieu", il fallait comprendre que tu parlais du cas p pair et q pair, du coup, ton travail est correct pour l'ensemble de ce que tu as fait.
Il reste cependant le problème avec l'énoncé...
#4 27-09-2020 17:11:18
- mrini1957
- Membre
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- Messages : 21
Re : exercice de logique
Bonjour
merci Matou pour votre collaboration
l exercice figure dans le manuel scolaire ,du coup je n ai pas pensé à ce que son énoncé soit faux
[tex]\frac{1}{3}[/tex] est bien solution de l équation que vous avez proposé
merci
cordialement Mrini
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