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#1 17-09-2020 10:26:51

al berto
Membre
Lieu : Savona (Liguria) Italia
Inscription : 21-11-2014
Messages : 234

Problème d'addition

Bonjour,

Si:
1+4=5
2+5=12
3+6=21
allors
8+11=?

Au moins deux idèes.

Merci.
aldo













05

Dernière modification par al berto (17-09-2020 10:30:13)


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#2 17-09-2020 14:39:27

Matou
Invité

Re : Problème d'addition

Bonjour,

une addition bien particulière

Ton opérateur revient à faire :
$a+b=a \times (b+1)$ où $\times$ est bien l'opérateur usuel pour la multiplication.
Donc la réponse est $96$

PS. J'aime bien ta signature

#3 17-09-2020 19:53:35

al berto
Membre
Lieu : Savona (Liguria) Italia
Inscription : 21-11-2014
Messages : 234

Re : Problème d'addition

Salut, merci pour la rèponse
Bien Matou.Bravo
Il y a au moins une autre solution, plus facile...
Merci pour ma signature.
ciao.
aldo


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#4 17-09-2020 20:27:36

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 092

Re : Problème d'addition

Ciao al berto,

credo di avere indovinato

1+4=5   
              7
2+5=12
              9
3+6=21
5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 +19 = 96
-----------------------------------------------------------
1234 + 1237 = 1236² - 4 =1527696 - 4 = 1527692 ?

@+


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#5 17-09-2020 21:29:00

al berto
Membre
Lieu : Savona (Liguria) Italia
Inscription : 21-11-2014
Messages : 234

Re : Problème d'addition

Ciao yoshi,
les bonnes réponses sont  $< 100$
aldo.


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#6 17-09-2020 23:33:28

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 093

Re : Problème d'addition

Salut,
Je vais jouer mon pinailleur

@Matou

Avec ta définition, l'opération $+$ est définie récursivement :
$a+b = a\times (b+1)$
$=a\times [b\times (1+1)]$
$=a\times b \times (1\times (1+1)]$
$=...$
$=a \times b \times (1+1)$
Il faudrait initialiser la valeur de $1+1$ sinon on ne s'en sort pas.

Et oui, mon message n'a pas vraiment plus d'utilité que ça.

Face à ce genre d' "énigme", j'ai toujours envie de créer une fonction ad hoc $+ : \mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ en prenant des images au pif.
Et me demander pourquoi ma fonction serait moins "logique" que la fonction imaginée par le concepteur de l'énigme.

Sinon ça va vous ? ^^


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#7 18-09-2020 17:32:20

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 092

Re : Problème d'addition

Bonsoir,

@Aldo
Voilà ce que tu avais écrit :

Bonjour,

Si:
1+4=5
2+5=12
3+6=21
allors
8+11=?

Au moins deux idèes.

Merci.
aldo

Et tu ajoutes maintenant :

Les bonnes réponses sont  <100

Deux remarques :
1. Je t'ai donné une réponse correcte à ta question :
    8 + 11 = ?
   

Je te la rappelle :

   
    8 + 11 = 10^2 - 4 = 96
   

   S'il y a quelque chose que tu ne comprends pas dans ma méthode, dis-le moi, je t'expliquerai.

2. Pourquoi serais-je limité à 100 ? rien dans ton énoncé ne me l'interdit...
    Donc, je peux proposer 1234 + 1237 = ?
   

Ma méthode me permet d'obtenir

   $1234 + 1237 = (1234+2)^2 -4=1527692
   le même résultat qu'avec la méthode de matou...
    Généralisation quel que soit a>0 :
   $a + (a+3) = (a+2)^2-4$
   

@+


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#8 18-09-2020 20:06:15

al berto
Membre
Lieu : Savona (Liguria) Italia
Inscription : 21-11-2014
Messages : 234

Re : Problème d'addition

Bonsoir,
@yoshy
Bien, tu a donné une autre solution que je respect.
D'ailleurs j'ai écrit bien " Au moins deux idèes."

Je m'excuse, mais maintenant j'ècris en italien.
Nell'originale non è specificato, ma mi pare di capire che nella soluzione si devono rispettare i numeri dell'enunciato dopo il "Se:"
altrimenti alla domanda 8+11=? io posso scrivere qualsiasi numero da 0 a 19 e oltre.

ciao.
aldo

Dernière modification par al berto (18-09-2020 22:31:29)


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#9 19-09-2020 08:03:45

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 126

Re : Problème d'addition

Bonjour,

Tibo a raison: il y a un nombre illimité de solutions dès lors que l'on peut interpréter l'expression "x + y" comme une fonction à deux variables F(x, y) .

1+4=5
2+5=12
3+6=21

Le plus simple est de partir de la fonction bilinéaire F(x, y) = a + bx + cy + dxy ; les 4 coefficients vérifient alors les relations:

(1) 5 = a + b + 4c + 4d
(2) 12 = a + 2b + 5c + 10d
(3) 21 = a + 3b + 6c + 18d

d'où l'on déduit:

(4) 7 = b + c + 6d
(5) 9 = b + c + 8d

et ensuite:

(6) 2 = 2d ,

ce qui conduit aux résultats: d = 1 , b + c = 1 (il y a une indétermination) et a = -3c .

On retrouve pour le dernier couple mentionné 8 + 11 = ?
la valeur déjà proposée:

F(8, 11) = a + 8b + 11c + 88d = -3c + 8(1- c) + 11c + 88 = 96 .

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#10 19-09-2020 09:00:36

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 126

Re : Problème d'addition

Rien n'exclut l'intervention d'un monôme de la forme F(x, y) = k.xa.yb .

Il vient alors:

(1) Ln(5) = Ln(k) + a.Ln(1) + b.Ln(4)
(2) Ln(12) = Ln(k) + a.Ln(2) + b.Ln(5)
(3) Ln(21) = Ln(k) + a.Ln(3) + b.Ln(6)

ce qui donne:

(4) Ln(12/5) = a.Ln(2) + b.Ln(5/4)
(5) Ln(21/12) = a.Ln(3/2) + b.Ln(6/5) = Ln(7/4)

d'où les expressions des exposants (a) et (b):

a = P/Q avec P = Ln(12/5)Ln(6/5) - Ln(7/4)Ln(5/4) , Q = Ln(2)Ln(6/5) - Ln(3/2)Ln(5/4) soit a = 0.9677821624 ;
b = R/S avec R = Ln(12/5)Ln(3/2) - Ln(7/4)Ln(2) , S = Ln(5/4)Ln(3/2) - Ln(6/5)Ln(2) soit b = 0.9171372370 ;

ainsi que celle du coefficient:

k = 5/4b = 1.402162563 .

On trouve pour le dernier couple de valeurs: F(8, 11) = 94.60035316 .

Calculs à vérifier.

On peut aussi envisager un produit d'exponentielles: F(x, y) = k.ax.by .

Dernière modification par Wiwaxia (19-09-2020 09:05:35)

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#11 19-09-2020 09:17:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 092

Re : Problème d'addition

Re,

Explicitation de ma méthode :
1+4 = 5                    --------->  somme des 3 premiers impairs - (1+3) = 9  - 4 =   5
2+5 = 12   (5 +7)      --------->  somme des 4 premiers impairs - (1+3) = 16 - 4 = 12
3+6 = 21   (5+7+9)   --------->  somme des 5 premiers impairs - (1+3) = 25- 4 =  21

8+11 = 96  -------------------->   somme des 10 premiers impairs - (1+3) = 100- 4 =  96

n + (n+3)  --------------------->   somme des (n+2) premiers impairs - (1+3) = (n+2)²- 4  = n(n+4)
Si je pose a = n et  b = n+3, je tombe sur a(b+1) je retrouve la formule de matou...

C'est l'addition 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 +  19 = 96  qui m'a alerté.

@+


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#12 19-09-2020 12:34:45

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 003

Re : Problème d'addition

salut ;

en suivant cette logique

en suivant cette méthode , j'obtiens 96 .

1 + 1 x 4 = 5
2 + 2 x 5 = 12
3 + 3 x 6 = 21
4 + 4 x 7 = 32
5 + 5 x 8 = 45
6 + 6 x 9 = 60
7 + 7 x 10 = 77
8 + 8 x 11 = 96
........

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#13 19-09-2020 12:50:37

al berto
Membre
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Re : Problème d'addition

Bonjour,
merci a tous
Jusqu'à aujourd'hui ont été données trois réponsesI:
Matou 96
yoshy, 96, 1527692?
Wiwaxia, 96 (en italien "vivacchia" "vivakkia"= quelqu'un  qui vit au jour le jour) ;-)

Maintenant j'ajoute une autre que je n'aime pas:

  1+4=5
  5+2+5=12
12+3+6=21
21+8+11=40
ciao.
aldo

Dernière modification par al berto (19-09-2020 13:11:45)


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#14 20-09-2020 07:33:48

Wiwaxia
Membre
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Re : Problème d'addition

Le monôme proposé F(x, y) = k.xa.yb présentant des exposants proches de l'unité,
on peut envisager une autre fonction du type G(x, y) = xy(a + b.x2 + c.y2)
à coefficients rationnels, avec (b) et (c) probablement très inférieurs à (a) en valeur absolue.

On obtient dans ce cas: a = 343/240 , b = 1/48 , c = -1/80 (hypothèse vérifiée);
pour retrouver (entre autres) les valeurs des données:

1 , 4 , 5
2 , 5 , 12
3 , 6 , 21

4 , 7 , 32.2
5 , 8 , 46
6 , 9 , 63
7 , 10 , 84
8 , 11 , 110

On vérifie aisément que la relation plus simple G(x, y) = xy(a + b.x + c.y) ne peut convenir.

PS: "wiwaxy" signifie "venteux" dans la langue indienne locale, près du site paléontologique de Burgess.

Dernière modification par Wiwaxia (20-09-2020 07:42:07)

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#15 20-09-2020 09:34:47

al berto
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Re : Problème d'addition

Bonjour,
pour moi ce sont des  raisonnements trop hauts, je suis désolé, je ne vous suis pas.

Tu as écrit " PS: "wiwaxy" signifie "venteux" dans la langue indienne locale, près du site paléontologique de Burgess."
Très intéressant.
ciao.
aldo


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#16 20-09-2020 12:10:35

Wiwaxia
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Re : Problème d'addition

Et si l'on veut faire correspondre au couple (8, 11) un nombre (A) arbitrairement choisi, il suffit de prendre
F(x, y) = G(x, y) + H(x, y) + I(x, y) + J(x, y) , avec

G(x, y) = (5/196)(x - 2)(x - 3)(y - 5)(y - 6)(x - 8)(y - 11) ,
H(x, y) = (1/3)(x - 1)(x - 3)(y - 4)(y - 6)(x - 8)(y - 11) ,
I(x, y) = 0.21(x - 1)(x - 2)(y - 4)(y - 5)(x - 8)(y - 11) ,
J(x, y) = (A/44100)(x - 1)(x - 2)(x - 3)(y - 4)(y - 5)(y - 6) .

Il vient dans ces conditions:
F(1, 4) = 5
F(2, 5) = 12
F(3, 6) = 21
F(8, 11) = A = 12345

Il n'y a aucun lien entre la quatrième valeur et les trois précédentes.

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