Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

timtom93 · 28-08-2020 00:19:09

Bonjour,
dans le cadre d'une décomposition en éléments simple, je me retrouve avec la relation suivante :
F = (x^5+x^4+1)/〖(x-1)〗^4 -1-1/x
Je suis censé trouver, en simplifiant :
F = (〖4x〗^3-〖2x〗^2-2x+3)/〖(x-1)〗^4
Je en vois pas comment y parvenir sans passer par le développement quelque peu "fastidieux" au numérateur de l'identité remarquable de degré 2 (lors de la mise au même dénominateur), existe-t-il un autre moyen ?
Si l'un d'entre vous pouvait m'éclairer. :)
Cordialement.
Tim

yoshi · 28-08-2020 09:08:03

Bonjour,

Ta formule de départ est-elle celle-ci ?
$\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4-1}-\dfrac{1}{x}$
ou
$\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-1-\dfrac{1}{x}$ ?

Au passage tes crochets dans ces formules
- de départ : F = (x^5+x^4+1)/〖(x-1)〗^4 -1-1/x
- d'arrivée : F = ([(4x〗^3-〖2x〗^2-2x+3)/〖(x-1)〗^4
sont absolument inutiles.

Si la bonne formule est celle de la proposition 2, alors il eut fallu écrire :
F = [(x^5+x^4+1)/(x-1)^4] -1-1/x

Le mieux est d'utiliser l'écriture en Latex : cf Code Latex
Voilà la formule avec Latex :
\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-1-\dfrac{1}{x} ?
je l'encadre avec le symbole du dollar pour avoir l'affichage de la proposition 2.

@+

timtom93 · 28-08-2020 22:05:16

Merci de la réponse dans d'aussi brefs délais, ainsi que du précieux aiguillage vers le le code Latex.
(j'avais fait un copier-coller depuis word qui lui me permettait d'avoir un affichage similaire à celui permis par le code Latex)
Ma formule est la deuxième, à savoir :
$\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-1-\dfrac{1}{x}$
Merci d'avance.

Black Jack · 29-08-2020 09:58:01

Bonjour,

Il y a comme un soucis ...

Je calcule F(2) par une des relations données : F(2) = (2^5 + 2^4 + 1)/(2-1)^4 - 1 - 1/2 = 47,5

Je calcule F(2) par l'autre relation donnée : F(2) = (8³ - 4² - 4 + 3)/1^4 = 495

Et donc les 2 expressions de F ne sont pas équivalentes.

Dernière modification par Black Jack (29-08-2020 09:58:33)

freddy · 29-08-2020 11:41:42

Black Jack a écrit :

Bonjour,
Il y a comme un soucis ...
Je calcule F(2) par une des relations données : F(2) = (2^5 + 2^4 + 1)/(2-1)^4 - 1 - 1/2 = 47,5
Je calcule F(2) par l'autre relation donnée : F(2) = (8³ - 4² - 4 + 3)/1^4 = 495
Et donc les 2 expressions de F ne sont pas équivalentes.

Exact et normal, Il manque trois pôles dans la décomposition ;-)

yoshi · 29-08-2020 14:14:53

Re,

Black Jack a écrit :

Il y a comme un soucis ...

Voilà un pluriel bien... singulier ! ^_^

Blague à part, j'avais entamé les calculs hier soir (en ce moment, la revue que je rédige pour mon association m'occupe pas mal) :
$F=\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\dfrac{x(x^5+x^4+1)-(x+1)(x-1)^4}{x(x-1)^4}$
Et j'avais constaté
- que le numérateur, après développement, serait composé d'un $x^6$ et d'un $-1$ et donc pas factorisable par $x$
- qu'en conséquence le dénominateur contiendrait encore, après simplifications, le facteur $x$

D'où le problème soulevé : la forme simplifiée attendue est incompatible avec le point de départ sélectionné.
Mais peut-être est-ce cette expression de départ qui est à revoir...

Et puis ce matin quand je me suis décidé à répondre, Black Jack était passé par là avec des cunus (souvenir de jargon de fac = calculs numériques pour les non initiés).

@+

freddy · 29-08-2020 15:21:42

yoshi a écrit :

Re,
Black Jack a écrit :
Il y a comme un soucis ...
Voilà un pluriel bien... singulier ! ^_^
Blague à part, j'avais entamé les calculs hier soir (en ce moment, la revue que je rédige pour mon association m'occupe pas mal) :
$F=\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^5+x^4+1}{(x-1)^4}-\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\dfrac{x(x^5+x^4+1)-(x+1)(x-1)^4}{x(x-1)^4}$
Et j'avais constaté
- que le numérateur, après développement, serait composé d'un $x^6$ et d'un $-1$ et donc pas factorisable par $x$
- qu'en conséquence le dénominateur contiendrait encore, après simplifications, le facteur $x$
D'où le problème soulevé : la forme simplifiée attendue est incompatible avec le point de départ sélectionné.
Mais peut-être est-ce cette expression de départ qui est à revoir...
Et puis ce matin quand je me suis décidé à répondre, Black Jack était passé par là avec des cunus (souvenir de jargon de fac = calculs numériques pour les non initiés).
@+

Re,

Non, c’est plus sûrement celle d’arrivée mais je n’ai encore fait aucun calcul.

Celle d’arrivée devrait commencer par un truc en ax+B(x)/D(x) + ...

Dernière modification par freddy (29-08-2020 19:06:14)

timtom93 · 31-08-2020 15:12:48

Bonjour,
merci de vos réponses et de vos recherches.
En effet, et j'en suis navré, mon raisonnement était erroné et la formule initiale est légèrement différente, elle présente un x en facteur au dénominateur.
J'en ai la certitude car j'ai retrouvé l'exercice corrigé en vidéo (https://www.youtube.com/watch?v=S53f12bRBhE entre 13min50 et 14min20).
Je suis donc censé trouver l'égalité suivante :
$\frac{x^5+x^4+1}{x(x-1)^4}-1-\frac{1}{x} = \frac{4x^3-2x^2-2x+3}{(x-1)^4}$
Ma question est donc de savoir, sachant que les deux formules sont équivalente (j'ai vérifié cette fois-ci...), comment on passe du premier terme au second sans passer par des identités remarquables de degré 4, si possibilité il y a, bien évidemment.
Merci !

Black Jack · 31-08-2020 16:00:06

timtom93 a écrit :

Bonjour,
merci de vos réponses et de vos recherches.
En effet, et j'en suis navré, mon raisonnement était erroné et la formule initiale est légèrement différente, elle présente un x en facteur au dénominateur.
J'en ai la certitude car j'ai retrouvé l'exercice corrigé en vidéo (https://www.youtube.com/watch?v=S53f12bRBhE entre 13min50 et 14min20).
Je suis donc censé trouver l'égalité suivante :
$\frac{x^5+x^4+1}{x(x-1)^4}-1-\frac{1}{x} = \frac{4x^3-2x^2-2x+3}{(x-1)^4}$
Ma question est donc de savoir, sachant que les deux formules sont équivalente (j'ai vérifié cette fois-ci...), comment on passe du premier terme au second sans passer par des identités remarquables de degré 4, si possibilité il y a, bien évidemment.
Merci !

Bonjour,

-1 - 1/x
= -(x+1).(x-1)^4/(x.(x-1)^4)
= -(x+1).(x²-2x+1)²/(x.(x-1)^4)
= -(x+1).(x^4 + 4x² + 1 - 4x³ + 2x² - 4x)/(x.(x-1)^4)
= -(x+1).(x^4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1)/(x.(x-1)^4)
= - (x^5 - 4x^4 + 6x³ - 4x² + x + x^4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1)/(x.(x-1)^4)
= - (x^5 - 3x^4 + 2x³ + 2x² - 3x + 1)/(x.(x-1)^4)

(x^5 + x^4 + 1)/(x.(x-1)^4) - 1 - 1/x
= (x^5 + x^4 + 1 - x^5 + 3x^4 - 2x³ - 2x² + 3x - 1)/(x.(x-1)^4)
= (4x^4 - 2x³ - 2x² + 3x)/(x.(x-1)^4)
= x.(4x³ - 2x² - 2x + 3 )/(x.(x-1)^4)
= (4x³ - 2x² - 2x + 3 )/(x-1)^4

yoshi · 31-08-2020 17:34:04

Bonjour,

$ x^5+x^4+1$ n'est pas factorisable, donc pas d'autre choix que le développement...
Black Jak a développé deux fois de suite au carré, je te propose de grouper (x+1) et (x-1) pour obtenir $x^2-1$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x+1)(x-1)^4}{x(x-1)^4}=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^2-1)(x-1)^3}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^2-1)(x^3-3x^2+3x-1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^5-3x^4+3x^3-x^2-x^3+3x^2-3x+1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^5-3x^4+2x^3+2x^2-3x+1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-x^5+3x^4-2x^3-2x^2+3x-1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{4x^4-2x^3-2x^2+3x}{x(x-1)^4}$
Et enfin
$f(x)=\dfrac{4x^3-2x^2-2x+3}{(x-1)^4}$

Et en écrivant, je me suis dit que je pourrais bien te montrer le triangle arithmétique de Pascal qui te donne les coefficients de $(a+b)^n$ et donc ceux de $(a-b)^n$, en affectant les coefficients des puissances impaires de b d'un signe - :

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
..............

En foi de quoi, on a $(x-1)^4= x^4-4x^3+6x^2-6x+1$ sans calculs autres que de l'édification du tableau.
Il vient alors :
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x+1)(x^4-4x^3+6x^2-6x+1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^5-4x^4+6x^3-6x^2+x+x^4-4x^3+6x^2-6x+1)}{x(x-1)^4}$
$\Leftrightarrow$
$f(x)=\dfrac{x^5+x^4+1-(x^5-3x^4+2x^3+2x^2-3x+1)}{x(x-1)^4}$

Et on retombe sur nos pieds en limitant les calculs...

@+

freddy · 31-08-2020 20:05:51

Salut,

Ce qui m’agace un peu dans ce sujet est que notre ami nous parle de décomposition en éléments simples d’un quotient de polynômes alors que nous avons affaire à un exercice d’algèbre de niveau L1 pas vraiment compliqué (mais bravo à yoshi et BJ), sans compter que le gars nous donne un énoncé incomplet et nous laisse patauger 24 h avec lui,
En maths comme dans beaucoup de disciplines scientifiques, tout commence par rigueur et précision (expression analytique, vocabulaire, enchaînement logique, ...), sinon, il vaut mieux penser à faire autre chose comme le tricot ou apprendre la dactylographie ! :-(

Dernière modification par freddy (04-09-2020 13:26:08)

yoshi · 31-08-2020 21:36:08

Bonsoir,

@freddy

sans compter que le gars nous donne un énoncé incomplet et nous laisse patauger 24 h avec lui,

Et que dire de celui-ci (où tu es aussi intervenu) :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12878
où, les preuves sous le nez, le gars dit avoir compris la dérivation, mais maintient qu'il n'y a aucune erreur dans sa reproduction de l'énoncé...

J'ai fait une supposition - étayée - sur la fonction probable, rejoint ensuite par Black Jack...
Il me semble invraisemblable qu'à ce niveau, on ait pu fournir un énoncé faux, s'il est issu d'un bouquin ou tapé en latex...
Pour moi, il y a erreur de recopie.
Mais on saura peut-être demain...

@+

freddy · 01-09-2020 11:04:07

Re,

Pour moi, un gars qui ne doute jamais, qui ne se vérifie pas, qui ne se remet pas en cause quand d’autres lui signalent une erreur évidente ferait mieux d’arrêter la discipline et d’être vendeur de ce qu’il veut : kebbab, voiture, immobilier, vêtement chaud pour bédouins ou trottinette pour unijambiste ! :-)))

Dernière modification par freddy (01-09-2020 11:04:46)

timtom93 · 03-09-2020 22:55:15

Navré de mon ignardise cher ami.
Même si ta causticité me semble exagérée, l'intégralité des messages sont passés et les leçons seront TOUTES tirées.
Je m'excuse une nouvelle fois platement, tout en te (vous) remerciant d'avoir passé du temps à réfléchir à la question, somme toute triviale pour vous autres je n'en doute pas.
Cela n'a pas été vain dans le cadre de mes révisions et j'espère malgré tout que c'est le but notamment recherché au sein de ce genre de plateforme.
Un grand merci bien sur à Black Jack et Yoshi. Vos patientes interventions m'ont grandement aidées.
Bonne continuation.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-08-2020 00:19:09

Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#2 28-08-2020 09:08:03

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#3 28-08-2020 22:05:16

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#4 29-08-2020 09:58:01

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#5 29-08-2020 11:41:42

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#6 29-08-2020 14:14:53

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#7 29-08-2020 15:21:42

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#8 31-08-2020 15:12:48

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#9 31-08-2020 16:00:06

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#10 31-08-2020 17:34:04

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#11 31-08-2020 20:05:51

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#12 31-08-2020 21:36:08

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#13 01-09-2020 11:04:07

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

#14 03-09-2020 22:55:15

Re : Simplification dans le cadre d'une décomposition en éléments simples

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