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#1 08-08-2020 11:10:17

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 125

Distribution tempérée

Bonjour
Je cherche à démontrer le résultat suivant: toute fonction $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ qui vérifie ceci: il existe un polynôme $P$ tel que: $|f(x)| \leq |P(x)|, \ \forall x \in \mathbb{R}^n$ est une distribution tempérée. Les polynômes eux mêmes sont des distributions tempérées.
Voici ce que j'ai essayé.
$f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ veut dire qu'il définie une distribution $T_f$ par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ on a
$$
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx.
$$

On a
$$
|\langle T_f,\varphi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} |
=
\Big|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx\Big| \leq \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |P(x) \varphi(x)| dx.
$$
Pas d'idée pour finir la démonstration.
Merci d'avance.

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#2 08-08-2020 14:09:12

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 914

Re : Distribution tempérée

Bonjour,

Qu'as-tu comme définition de distribution tempérée ?

Roro.

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#3 08-08-2020 14:13:55

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 125

Re : Distribution tempérée

Soit $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$. On dit que $T \in S'(\mathbb{R}^n)$ si
$$
\exists p \in \mathbb{N}, \exists c, \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n),\ |<T,\varphi>| \leq c N_p(\varphi),
$$
où $N_p(\varphi)= \sum\limits_{{|\alpha| \leq p,  |\beta| \leq p}}|x^{\alpha} D^{\beta} \varphi|_{L^{\infty}}.$

Merci d'avance.

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#4 09-08-2020 14:26:25

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 914

Re : Distribution tempérée

Bonjour,

Dans ce cas, tu peux utiliser la même méthode que ce que tu as pu voir lorsqu'on démontre qu'un polynôme est une distribution tempérée (enfin, si c'est la méthode à laquelle je pense).

L'idée est d'écrire
$$P(x) = \frac{1}{(1+|x|)^{n+1}} \times (1+|x|)^{n+1} P(x)$$
et de remarquer que $\frac{1}{(1+|x|)^{n+1}}$ est intégrable sur $\mathbb R^n$.

Roro.

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#5 09-08-2020 17:28:45

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 125

Re : Distribution tempérée

Bonjour Roro,
je pense que mon cours n'est pas complet.
Alors la semi norme sur $S(\mathbb{R}^n)$ est donnée par
$$
\forall p \in \mathbb{N}, \ N_p(\varphi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^{\beta} \varphi||_{L^{\infty}}.
$$
Après quelques recherches, je lis qu'on peut dire que $N_p(\varphi)= ||P D^{\alpha} \varphi||_{L^{\infty}}$, où $\alpha \in \mathbb{N}^n$.
Question 1: c'est quoi la relation entre ce nouveau $N_p$ avec un polynôme quelconque $P$ et la définition initiale?
Ensuite, je lis aussi la remarque suivante: puisque pour tout compact $P$ il existe $m$ assez grand tel que $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$, alors on peut écrire $N_p(\varphi)$ de la forme $(1+||x||^2)^m |D^{\alpha} \varphi(x)| \leq  c$
Question 2: Qu'est ce qu'n veut dire ici par la notation $|P(x)|=O((1+||x||^2)^m)$ pour tout polynôme $P$?

Tout ça est brouillé dans ma tête, je vous remercie d'avance de m'aider à éclaircir tout ça.

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