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#1 29-07-2020 17:48:50

kevlar
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vp de ces matrices là

Bonjour;

Merci;

je cherche un moyen pour trouver les valeur propres de ces matrices

d'ordre  [tex]  n=m +1  [/tex]

avec [tex]  m = 2^d - 1 [/tex] avec [tex]  d\in \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]

je pense qu'il y a une astuce à trouver mais franchement je ne vois pas

[tex]\begin {pmatrix}w^{0\times 0} & w^{0\times 1} & \ldots & w^{0\times m} \\  w^{1\times 0} & w^{1\times 1} & \ldots & w^{1\times m} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  w^{m\times 0} & w^{m\times 1} & \ldots & w^{m\times m}  \end {pmatrix}[/tex]

avec [tex]  w = cos\left(\dfrac {2\pi }{n}\right) + i.sin\left(\dfrac {2\pi }{n}\right)[/tex]

je sais que :

[tex]\forall t\in \mathbb {N} , w^{-t} = \overline {w^t} [/tex] et [tex] w^t = w^{t-n\left\lfloor \dfrac {t}{n} \right\rfloor }[/tex]

je sais que:

[tex]\forall a\in \mathbb {N} , \forall b\in \mathbb {N} [/tex] [tex]w^{ab}=w^d[/tex] avec

[tex]d = c-n\left\lfloor \dfrac {c}{n} \right\rfloor [/tex] et [tex]c = \left(a-n\left\lfloor \dfrac {a}{n} \right\rfloor \right) \left(b-n\left\lfloor \dfrac {b}{n} \right\rfloor \right)  [/tex]

et enfin je sais que :

[tex]\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1} w^{tk} = n [/tex] si [tex] t [/tex] est un multiple de [tex] n [/tex]

sinon cette somme vaut [tex] 0 [/tex]

Dernière modification par kevlar (29-07-2020 21:27:19)

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#2 29-07-2020 18:02:33

valoukanga
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour !

Juste au cas où, dans les coefficients de ta matrice en exposant, c'est bien une multiplication à chaque fois ? Et sinon ta matrice est d'ordre $m+1$ est non $m$ c'est bien le cas ?

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#3 29-07-2020 18:16:40

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

bonjour Valoukanga

oui pardon elles sont d'ordre m+1

et oui le point . est la multiplication

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#4 29-07-2020 18:31:51

yoshi
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Re : vp de ces matrices là

Re,

Juste pour ta culture : en Latex le signe x c'est \times...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 29-07-2020 21:27:53

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Merci Yoshi

j'ai corrigé avec le symbole approprié

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#6 30-07-2020 02:13:19

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

J'ai trouvé quelques valeurs propres (mais pas toutes)

En tout cas [tex]\sqrt {n}[/tex] est toujours une valeur propre de ces matrices

par exemple pour n=16

j'en ai trouvé que quatre (mais à mon avis les valeurs propres de ces matrices sont toutes distinctes deux à deux donc il m'en manque)

[tex]\sqrt {16}[/tex]

[tex]-\sqrt {16}[/tex]

[tex]i \sqrt {16}[/tex]

[tex]-i \sqrt {16}[/tex]

pour n=8 il y a un moyen de savoir si elles sont toutes distinctes ou pas vu que j'en ai déjà quatre ... on verra

Dernière modification par kevlar (30-07-2020 02:36:37)

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#7 30-07-2020 11:59:41

valoukanga
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Re : vp de ces matrices là

Re,

J'ai regardé le cas $n=4$ (enfin plutôt demandé à WolframAlpha de me sortir les valeurs propres) et on a : $-2$, $-2i$, et $2$ de multiplicité $2$ (sauf erreur de ma part).

J'ai aussi pas mal cherché sur Internet, et j'ai pas trouvé de réponse... Cette matrice, qui s'appelle la matrice de Vandermonde-Fourier, est bien particulière, et j'ai trouvé uniquement son inverse sur Internet, mais rien sur ces valeurs propres.

Peut-être que quelqu'un de bien calé ici pourra t'aider !

Dernière modification par valoukanga (30-07-2020 11:59:51)

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#8 30-07-2020 12:30:57

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Merci Valoukanga

ah donc mince!

sur mon cahier je les ai appelées matrices de Moivre  (il fallait que je trouve un nom et vu que pour les propriétés il y a quelques théorèmes de Moivre en jeu j'ai pensé  lui)

il faut que je refasse quelques feuilles avec le nom correct

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#9 30-07-2020 12:43:50

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

je viens de revérifier pour n=4

je trouve 2i est une valeur propre (Wolfram s'est-il trompé en comptant la valeur propre 2 comme double ?)

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#10 30-07-2020 12:50:45

valoukanga
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Re : vp de ces matrices là

Ok ça me rassure que tu trouves $2i$ comme valeur propre, c'est beaucoup plus cohérent.

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#11 30-07-2020 16:59:29

astro400
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour pour n=4 je trouve comme valeurs propres uniquement 2,-2 et 2i avec 2 qui est bien un espace propre de dimension 2 puisque (2,1,0,1) et (1,0,1,0) engendrent E2. Pas de -2i !

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#12 30-07-2020 17:16:37

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour Astro

je ne sais pas comment je me suis débrouillé tout à l'heure car j'avais revérifié et maintenant en vérifiant à nouveau -2i n'est pas bon

je vais reprendre ça à froid

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#13 30-07-2020 17:17:05

valoukanga
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Re : vp de ces matrices là

Ah, donc WolframAlpha avait bien raison !

C'est un peu étrange comme résultat alors...

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#14 30-07-2020 17:47:20

astro400
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Re : vp de ces matrices là

j ai continué plus loin, là avec Mathematica
Pour n=8 les valeurs propres sont -2 Sqrt[2],  -2Sqrt[2]i, 2 Sqrt[2]i et 2 Sqrt[2] avec les multiplicités respectives 2,1,2 et 3.
Pour n= 16 les valeurs propres sont -4,-4i, 4i,4 avec les multiplicités respectives 4,3,4 et 5
On peut donc raisonnablement conjecturer que pour n quelconque les seuls valeur propres sont parmi -Sqrt[n], - Sqrt[n]i, Sqrt[n]i et Sqrt[n]
avec les multiplicités respectives n/4,n/4-1,n/4, et n/4+1.
Le cas n=4 rentrant aussi dans ce cas .
Connaissant le polynôme caractéristique probable on pourrait peut etre vérifier si il est annulateur?

Dernière modification par astro400 (30-07-2020 17:59:27)

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#15 30-07-2020 17:58:03

astro400
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Re : vp de ces matrices là

il fallait lire sont parmi -Sqrt[n], - Sqrt[n]i, Sqrt[n]i et Sqrt[n] bien  sur.
J ai pu tester la conjecture pour n=32 ça marche toujours!

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#16 30-07-2020 18:23:53

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

pour n=4 il semble que la généralisation ne fonctionne pas

valeurs propres 2 , -2 , 2i mais pas -2i

je vais tout reprendre a zéro demain  (il semble que je me suis planté quelque part)

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#17 30-07-2020 18:39:40

astro400
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Re : vp de ces matrices là

j ai formulé volontairement "parmi ces 4 valeurs" , pour inclure le cas n=4. Pour n=4 la multiplicité serait n/4-1=1-1=0 donc -2i n'est pas valeur propre.

Dernière modification par astro400 (30-07-2020 18:51:30)

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#18 30-07-2020 18:57:03

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Merci Astro

effectivement j'ai mal lu

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#19 30-07-2020 20:46:18

Maenwe-bis
Invité

Re : vp de ces matrices là

Bonsoir,
Avez vous essayez de simplifiez la première ligne du polynôme caractéristique ?
Et après on développe selon la 1ere ligne et à mon avis on obtient une récurrence d'ordre 2 ou qielqie chose dans le genre.

#20 31-07-2020 07:18:04

astro400
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour, sachant que la matrice est définie lorsque $n$ est une puissance de 2  pas facile d'imaginer  une démarche par récurrence. Il faudrait passer de $n$ à $2n$ en remplaçant $w=e^{i\theta}$ par $e^{i \theta /2}$.

Dernière modification par astro400 (31-07-2020 08:14:10)

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#21 31-07-2020 11:28:54

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour Astro

Je tente une démo de votre résultat (impressionnant car je n'espérais rien en ce qui concerne les multiplicités)

pour ce faire j'écris la matrice autrement car il y a des arguments qui se répètent

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#22 01-08-2020 10:56:31

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Astro j'en suis toujours pas revenu sur la manière dont vous avez trouvé les multiplicités

Je ne vous demande pas de trahir un secret mais j'avoue que je suis un peu curieux

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#23 01-08-2020 11:56:48

astro400
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Re : vp de ces matrices là

Bonjour, C'est Mathematica qui a fait le gros du travail et un peu de bricolage . Notons $A$ ta matrice
Jusqu'à $n=8$ il fait le calcul tout seul en calcul formel.
Pour $n=16$  je lui ai demandé une approximation numérique $B$ de la matrice $A$ , je lui ai demandé les valeurs propres de $B$ qui sont très proches ( 10-16 près) de $\sqrt{n}$, $i\sqrt{n}$,$-i\sqrt{n}$ et $-\sqrt{n}$. J'ai donc supposé que les v.p. de $A$ étaient ces valeurs et c'était alors facile de trouver une base de vecteurs propres de A  .
Ce qui facilite la recherche des vecteurs propres c'est que pour tout $n$ on a $A.(1,1....1)^t=(n,0,0....0)^t $ (par somme d une série géométrique sauf pour la première composante) et $A.(1,0....0)^t=(1,1,...,1)^t$.
La conjecture m'a parue  alors évidente.
Pour n=32 même chose mais j'ai cherché numériquement les vecteurs propres  car je ne les trouvais pas à la main.

Dernière modification par astro400 (01-08-2020 12:07:45)

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#24 02-08-2020 00:25:05

kevlar
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Re : vp de ces matrices là

Merci Astro pour le temps consacré à cela

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