Fonction du second degré

Pierre123 · 28-07-2020 12:57:44

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour un exercice:

Une fonction du second degré f(x)=ax²+bx+c (a≠0) admet un maximum en x=2. On sait que f(6)=4. Que vaut f(-2) ?

Je n'ai absolument aucune idée de comment m'y prendre pour résoudre ce genre d'exercice..

Merci d'avance!

valoukanga · 28-07-2020 13:10:09

Bonjour !

Tu as dû voir ça dans ton cours (ou bien tu peux le deviner) que la courbe d'une fonction du second degré est symétrique par rapport à la droite d'équation $x =\lambda$, où $\lambda$ est où l'extremum (c'est-à-dire soit le maximum, soit le minimum) de ta fonction est atteint.

Par exemple, si on considère la fonction carrée $g : x \mapsto x^2$ (cas particulier d'une fonction du second degré), on sait que son extremum, qui est ici un minimum, est atteint en $x = 0$. Ainsi, la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 0$ (qui n'est rien d'autre que l'axe des ordonnées), ce que tu peux vérifier si tu as la représentation graphique de la fonction carrée en tête.

Maintenant, pour que tu comprennes pourquoi je te parle de ça, continuons sur l'exemple : la courbe de ma fonction carrée est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 0$. Ainsi, si je prends deux abscisses qui sont à égale distance de $0$, je serai certain qu'ils auront la même image. On en déduit que $g(1) = g(-1)$, ou encore $g(\sqrt 2) = g(-\sqrt 2)$, etc.

Si on essaie de revenir au cas général où ma fonction du second degré (que j'appelle $f$) admet un extremum $x = \lambda$, si j'ai deux abscisses à égale distance de $\lambda$, alors elles auront la même image par $g$. Ainsi par exemple, si je considère $1 + \lambda$ et $-1 + \lambda$ (qui sont deux abscisses toutes deux à distance de $1$ de $\lambda$), je suis certain d'avoir $g(1+\lambda) = g(-1+\lambda)$.

Est-ce que tu as compris mon tas d'explications ? Je peux essayer de le reformuler autrement. Si c'est bon, est-ce-que tu vois le lien avec ton exo ?

Pierre123 · 28-07-2020 17:57:20

Merci d'avoir pris de ton temps pour ces explications!

Mais malheureusement j'apprends seul et je pense avoir été un peu vite dans la matière du coup il y'a pas mal de notions que je n'ai pas encore vue, notamment l'extremum qui ne me parle pas.. Extremum = sommet, axe de symétrie?

Est ce que ici mon point 2 c'est l'extremum?

Désolé si ça peut paraître idiot mais j'avoue être perdu..

valoukanga · 28-07-2020 18:21:47

Pas de souci, c'est avec plaisir.

Sur ton dessin, il y a un problème : tu confonds abscisses et ordonnées. Quand on te dit que $f(6) = 4$, cela veut dire que la courbe de la fonction $f$ passe par le point $(6,4)$, avec donc $6$ sur l'axe des abscisses (celui de gauche à droite) et $4$ sur l'axe des ordonnées (celui de bas en haut). Ainsi, sur ton dessin tu n'as pas représenté le fait que $f(6) = 4$, mais le fait que $f(4) = 6$.

De plus, ton minimum est en $x=2$. Comme on parle de $x$, cela renvoie à l'axe des abscisses. Ainsi, le $2$ que tu dois placer est sur l'axe des abscisses.

Enfin petit point de vocabulaire : on parle d'extremum pour signifier maximum ou minimum. C'est en gros l'équivalent du mot "sommet", qu'on utilise indifférent pour parler d'un sommet "vers le haut" (maximum) ou d'un sommet "vers le bas" (minimum).

Est-ce que tu pourrais refaire ton graphique pour vérifier que tout est ok ?

Zebulor · 28-07-2020 18:25:01

Bonjour,
apprenant seul tu as du mérite... y a de l'idée dans ton schéma mais tu confonds l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. Ton graphe correspond à la fonction polynomiale $f(x)=ax^2+bx+c$ du second degré avec a>0 telle que $f(0)=2$ et $f(4)=6$, et dont l'extremum est $f(0)=2$.
EDIT : grillé par valoukanga

Dernière modification par Zebulor (28-07-2020 18:29:17)

Pierre123 · 28-07-2020 19:15:33

Ah oui j'ai confondu abscisses et ordonnées..

Du coup mon graphique donnerait ça ?

Et j'imagine que x=2 étant l'extremum, la courbe "remonte" à partir de ce point pour donner f(1)=1, f(-1)=3 et f(-2)=4 ? (J'ai vraiment un doute)

valoukanga · 28-07-2020 20:13:17

Cette fois le point $(6,4)$ et le minimum sont bien placés, mais tu n'as aucune certitude que $f(2) = 0$, $f(3) = 1$, $f(4) = 2$, etc. On sait juste que le minimum est en $2$, cela ne veut pas du tout dire que $f(2) = 0$, cela veut juste que c'est le point le plus bas de ta courbe, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'images plus basses.

Par exemple, voici une fonction du second degré satisfaisant aux conditions de ton énoncé (la fonction est $f(x) = \frac12 x^2 -2x - 2$) : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/31/bbkl.png

On observe bien la symétrie que j'ai essayé de te décrire avant.

Est-ce du coup tu peux essayer de trouver la réponse à l'ex avec mes histoires de symétrie que j'ai raconté avant ?

Dernière modification par valoukanga (28-07-2020 20:13:44)

Pierre123 · 28-07-2020 22:27:58

Ça me paraissait aussi un peu simple cette histoire de f(2)=0 etc.

Du coup j'ai mon point f(6)=4 qui est donné et f(-2)=4 que j'ai trouvé en utilisant comme axe de symétrie x=2 en comptant point par point et à partir du moment ou j'ai ces 2 coordonnées j'imagine qu'il est existe une formule pour trouver l'équation de base et ainsi trouver le reste des coordonnées pour tracer la courbe?

valoukanga · 28-07-2020 22:34:21

C'est ça, on a $f(-2) = 4$ puisque la courbe est symétrique.

Alors pour trouver l'équation de la courbe c'est pas suffisant. On a :

$$ f(6) = 4 \Rightarrow a \times 6^2 + b \times 6 + c = 4 \Rightarrow 36a+6b+(c-4) = 0. $$
$$ f(-2) = 4 \Rightarrow a \times (-2)^2 + b \times (-2) + c = 4 \Rightarrow 4a-2b+(c-4) = 0. $$

On a donc un système de 2 équations à trois inconnues ($a$, $b$ et $c$), qu'il nous ait pas possible de résoudre entièrement, il nous manque des infos pour pouvoir finir et trouver la seule fonction qui convient.

On pourrait se débrouiller avec la dérivation, mais je ne sais pas si tu as déjà étudié cela.

Pierre123 · 28-07-2020 22:46:19

Super, merci beaucoup pour toutes ces explications ça me parait maintenant tellement simple!

Zebulor · 28-07-2020 23:51:00

Bonsoir,
et pour compléter le post #9 de valoukanga, $a$, $b$ et $c$ vérifient deux équations indépendantes, de sorte que $b$ et $c$ par exemple peuvent s'exprimer en fonction de $a$.
Tu as alors $f(x)=ax^2-4ax+4-12a=a(x-2)^2+4-12a$. Le cas $a=1/2$ est celui d"un post précédent #47 et le terme $f(2)=4-12a$ traduit le décalage de la courbe par rapport à l 'axe des ordonnées...plus $a$ est grand, plus l'extremum $f(2)$ est petit ..et inversement.
Tu peux vérifier que toutes les courbes de $f$ passent toutes par les points de coordonnées (6;4) et (-2;4), et ont leur extremum en $x=2=4a/2a$. Seul le paramètre $a$ joue alors sur la forme de la parabole.
Lorsque $a$ est nul la fonction est constante et vaut 4. La représentation de $f$ est alors une droite horizontale.
Dans tous les autres cas, l'allure est parabolique...en forme de cuvette lorsque a est positif, de colline lorsque a négatif.

Dernière modification par Zebulor (29-07-2020 16:19:19)

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