Nature de triangle

alae · 21-07-2020 15:45:56

Bonjours

Exo : a et b et c don't des nombres réels
1) montrer que a^3+b^3+c^3 - 3abc=1/2 (a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]

2) a et b et c don't Les longueurs d'un triangle tel que :
a^3+b^3+c^3=3×abc
qu'elle est la nature du triangle ?

J'ai bien fait la question 1 mais pour le 2 je ne sais pas comment la résoudre de plus j'ai remarqué que le triangle est équilatéral (si je prends a=b=c l'équation vérifiée)
Merci infiniment pour votre effort

Maenwe · 21-07-2020 16:09:14

Bonjour,
D'abord une petite question, quelles éléments as tu à ta disposition ?
Et comment, à ton avis, peux tu les utiliser ?

alae · 21-07-2020 16:39:25

Bonjour
J'ai le résultat de la question 1
Comme idée je peux faire la chose suivante si la triangle équilatéral a=b=c reprenant maintenant ce résultat a l'équation 1 on va trouver a^3+b^3+c^3 - 3abc=0
Si la tringle isocèle on a a=b#c mais au niveau de là est ce que je vais l'énoncé les deux cas restant b=c#a et c=a#b

Maenwe · 21-07-2020 19:19:33

Tu peux reformuler ta dernière phrase ? Je n'arrive pas à la comprendre, désolé. Cependant j'ai quand même compris ton raisonnement (je pense).
Avec ce point de vue cela te permet d'obtenir un premier aperçu de ce que pourrait être la solution, et c'est très bien ! Mais il y a plus simple, je te montrerai après.
Donc supposons, comme tu l'as fait, que $a=b \not = c$. Est-ce qu'il est possible que $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2$ soit nul dans ce cas ?

alae · 21-07-2020 22:36:13

Bonjour
il est impossible d'être nul puisque si b#c alors (b-c)#0 alors (b-c)^2>0

Black Jack · 22-07-2020 10:33:13

alae a écrit :

Bonjours
Exo : a et b et c don't des nombres réels
1) montrer que a^3+b^3+c^3 - 3abc=1/2 (a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]
2) a et b et c don't Les longueurs d'un triangle tel que :
a^3+b^3+c^3=3×abc
qu'elle est la nature du triangle ?
J'ai bien fait la question 1 mais pour le 2 je ne sais pas comment la résoudre de plus j'ai remarqué que le triangle est équilatéral (si je prends a=b=c l'équation vérifiée)
Merci infiniment pour votre effort

Bonjour,

La difficulté n'est pas de trouver que le triangle équilatéral convient ... il faut aussi montrer qu'il n'y en a pas d'autres (en prenant aussi en compte les triangles quelconques)

Le prof a tendu la perche avec la question 1 ...

En regardant cette question 1, par quoi peux-tu remplacer : a^3+b^3+c^3 - 3abc = 0

Et donc ...

alae · 22-07-2020 13:21:15

Bonjour
Désolé moi j'ai essayé mais je n'ai aucune idée

Black Jack · 22-07-2020 13:50:46

alae a écrit :

Bonjour
Désolé moi j'ai essayé mais je n'ai aucune idée

Bonjour,

Avec la question 1, on sait que : a^3+b^3+c^3 - 3abc=1/2 (a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]

Donc a^3+b^3+c^3 - 3abc = 0 est équivalent à : 1/2 (a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] = 0 (1)

1/2 (a+b+c) peut-il être nul (sachant que a,b,c sont les mesures de cotés de triangle, donc strictement positifs) ?

Et donc qu'est-ce qui doit s'annuler dans la partie gauche de (1) ?

Et qu'est ce que cela implique ?

yoshi · 22-07-2020 16:05:28

Bonjour,

Ptêt bien qu'en causant avec alae le langage qui va bien, ce serait plus éclairant ?

Alae, ra

yoshi · 22-07-2020 16:14:39

Bonjour,

Ptêt bien qu'en causant avec alae le langage qui va bien, ce serait plus éclairant ?

Alae, rassemble tes souvenirs de 3e ! Black Jack te fait simplement remarquer que
1. a, b, c sont des longueurs

2. $(a+b+c)\left[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right]=0$ n'est rien d'autre qu'une équation-produit, certes un peu plus "touffue" qu'en 3e...
Mais le principe de résolution reste le même le même !...
$(a+b+c)\left[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right]=0$ n'est rien d'autre que $(..+..+..)(..+..+..)=0$
où j'ai mis des parenthèses à la place des crochets...

@+

alae · 22-07-2020 16:32:36

Bonjour Black jack
Ui j'ai compris maintenant
On a 1/2 (a+b+c) #0 alors (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =0 cela implique nécessairement que a=b et b=c et c=a

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Nature de triangle

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