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#1 13-07-2020 10:26:05

Low
Invité

Arguments de complexes.

Bonjour à tous,

J'ai plusieurs soucis concernant des exercices sur les complexes.

1) Trouver l'argument de ?1 = 2? + ?(1 – a^2) (? ∈ ℝ)

2) ???? ? ∈ ℂ ??? ??? |?| = 1 ?? ? ≠ 1 ;   ? =(x-i)/(x+i) (? ∈ ℝ). Exprimer ? en fonction de l’argument de ?.

Le livre que j’utilise propose seulement les réponses finales  :
1) arg(?) =(pi/2)-2 arctan(?) + 2??
2)   ? =e^iΘ ( ⟹ ? = -1/tan⁡(Θ/2)  Θ≠2kπ car z≠1
J’ai vérifié les réponses et elles me semblent correctes, mon problème est que sans voir la réponse je n’arrive pas à avoir l’idée, voici où j’en suis à chaque fois :

1) J'ai posé z1=pe^(i?)
Je trouve p=a^2+1
Donc un système cos(?)=2a/(a^2+1)  et sin(?)=(1-a^2)/(a^2+1)

Moi j’avais envie de partir sur l’observation que sin(?) + acos(?) = 1
Mais après ça, je n’ai plus d’intuition. D’ailleurs je ne sais même pas si cette première observation est utile.

2) x=-i*(z+1)/(z-1)
Même en remplaçant z par e^(i?) je n'ai plus aucune idée de suite :
x=e^(-ipi/2)(e^(i?)+1)(e^(i?)-1)

Je vous remercie d'avance de m'aider.
Bonne journée à tous.

#2 13-07-2020 10:28:09

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 145

Re : Arguments de complexes.

Bonjour,

Est-ce que tu pourrais lire ton message, et te rendre compte que il y a plein de ??? et que c'est illisible ? Tu peux soit poster un lien vers une photo, soit écrire en LaTeX

Merci !

Hors ligne

#3 13-07-2020 12:05:38

Low
Invité

Re : Arguments de complexes.

PARDON !!!
1) Trouver l'argument de z1 = 2a + i(1 – a^2) (a ∈ ℝ)

2) Soit z ∈ ℂ : z=e^(iΘ) |z| = 1 et  z≠ 1 ;   z=(x-i)/(x+i) (x ∈ ℝ). Exprimer z en fonction de l’argument de z.

Le livre que j’utilise propose seulement les réponses finales  :
1) arg(z) =(pi/2)-2 arctan(a) + 2kpi.
2)   z =e^iΘ => x= -1/tan⁡(Θ/2)  Θ≠2kπ car z≠1
J’ai vérifié les réponses et elles me semblent correctes, mon problème est que sans voir la réponse je n’arrive pas à avoir l’idée, voici où j’en suis à chaque fois :

1) J'ai posé z1=pe^(iΘ)
Je trouve p=a^2+1
Donc un système cos(Θ)=2a/(a^2+1)  et sin(Θ)=(1-a^2)/(a^2+1)

Moi j’avais envie de partir sur l’observation que sin(Θ) + acos(Θ) = 1
Mais après ça, je n’ai plus d’intuition. D’ailleurs je ne sais même pas si cette première observation est utile.

2) x=-i*(z+1)/(z-1)
Même en remplaçant z par e^(iΘ) je n'ai plus aucune idée de suite :
x=e^(-ipi/2)(e^(iΘ)+1)(e^(iΘ)-1)

#4 13-07-2020 12:13:52

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

Je crois que ce lien, est une version plus propre de ma question.

#5 13-07-2020 12:14:47

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

#6 13-07-2020 13:17:51

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 898

Re : Arguments de complexes.

Bonjour,

Pour la première question, tu peux penser à la relation suivante :
$$\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan² \alpha}.$$

Pour la seconde question, une idée (assez générale) lorque tu as la différence (ou la somme) de deux exponentielles est de mettre en facteur l'exponentielle de la moyenne des arguments. Je m'explique :
$$\mathrm e^{a} - \mathrm e^b = \mathrm e^{\frac{a+b}{2}} \Big( \mathrm e^{\frac{a-b}{2}} - \mathrm e^{-\frac{a-b}{2}}\Big).$$

Roro.

Hors ligne

#7 13-07-2020 13:31:14

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

Bonjour Roro,

Merci pour la réponse. Cependant j'ai encore des questions.

Pour la question 1) qu'est-ce qui est supposé me faire penser à tan(2alpha) ? je vois bien que c'est utile grâce à la réponse, mais je ne vois pas ce qui peut me mettre sur la piste (est-ce à partir de la relation sin(Θ)+acos(Θ)=1 ou à partir de l'expression de cos(Θ) et sin(Θ) ?)

Pour la question 2), j'avais essayé en vain :
e^0=e^(-ipi/2)*(1+e^(-iΘ))/(1-e^(-iΘ))

#8 13-07-2020 13:37:06

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

Roro,

Merci encore pour 2) je trouve x=itan(Θ/2) je me rapproche de la réponse donnée par le livre, mais n'y suis pas encore. Un dernier conseil ?

#9 13-07-2020 13:53:20

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

Roro,

Merci, pour la 2 j'ai trouvé !!! J'avais voulu aller trop vite. Votre conseil était parfait, et je vais garder en tête cette astuce.

Quand vous aurez un moment, je veux bien un éclairage sur la 1.

#10 13-07-2020 15:28:30

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 898

Re : Arguments de complexes.

Bonjour,

Ce qui fait penser à cette formule sur $\tan(2 \alpha)$, ce sont tes expressions de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$. En particulier, tu as
$$\frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{2a}{1-a²}.$$

Si tu poses $a=\tan \alpha$ alors tu devrais te rapprocher de la solution.

Roro.

P.S. N'oublies pas que $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$...

Hors ligne

#11 14-07-2020 17:01:06

low
Invité

Re : Arguments de complexes.

Bonjour Roro,

En effet, ça fonctionne ! Merci beaucoup pour tous ces conseils.

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