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#1 28-06-2020 17:01:25

yannD
Membre
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Démonstration à faire

Bonjour , voici deux propriétés des produits scalaires avec les projetés orthogonaux
Soient A,B et C trois points et $H$ le projeté de $C$ sur la droite $(AB)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens contraires

Je pense avoir réussi à voir démontrer la 1ère mais je n'arrive pas à trouver le -AB pour la 2e
Pouvez-vous me donner un "petit" indice , s'il vous plait ?

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#2 28-06-2020 17:54:44

Italbi
Invité

Re : Démonstration à faire

Bonjour YannD,
Pour être sûr que tu as bien démontré la 1ere pourrais-tu me la montrer stp?
Pour le petit indice, si tu as bien fais la 1ere, et bien tu dois faire de la même manière. De plus, vecAB et vecAH sont de sens contraires, donc trace une figure simple et tu comprendras la présence du moins.

#3 28-06-2020 18:15:46

yannD
Membre
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Re : Démonstration à faire

Bonjour et merci de m'avoir répondu
1. dans le triangle  HAC  rectangle en H, le cosinus de l'angle $\widehat{HAC} $ est égal à coté adjacent /hypoténuse = AH/AB
2. et dans le triangle ABC rectangle en C rectangle en B, le cosinus de l'angle $\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC}$
3. je dis que les deux cosinus sont égaux
4. et en écrivant la formule du produit scalaire , le AB qui est au dénominateur s'élimine avec le AB

Dernière modification par yannD (28-06-2020 18:26:53)

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#4 28-06-2020 18:23:37

yannD
Membre
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Re : Démonstration à faire

j'ai rectifié pour le triangle BAC rectangle en B et pas en C
et aussi pour le triangle HAC rectangle en H

Dernière modification par yannD (28-06-2020 18:26:01)

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#5 28-06-2020 18:27:20

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 892

Re : Démonstration à faire

Re,

1. Es-tu sûr de ton énoncé, parce que je décompose le vecteur $\overrightarrow{AC}$ :
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})$.
    Je développe :
    $\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}$.
    Or, puisque H est le projeté orthogonal de C sur (AB) les droites (AB) et (CH) sont perpendiculaires, d'où $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=\vec 0$
    Et donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$
    Et l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ n'intervient pas  : ce que j'écris est vrai quels que soient A, B et C.
    Par contre, dans ce cas, il est vrai que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB \times AH$ (avec les longueurs AB et AH ...


2.  Si vraiment il n'y a que des vecteurs (et je ne suis pas d'accord), ce n'est pas $-\overrightarrow{AB}$ qu'il faut chercher, mais    $-\overrightarrow{AH}$...
    En effet,
    $-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH})=(-\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}.(-\overrightarrow{AH})$
    Toutes ces écritures sont égales...   

Exemple numérique.
Soient A(2;1), B(8;7) et C(-5,2)... Le point H a pour coordonnées (-1;-2).
Tu peux vérifier avec GeoGebra...
$\overrightarrow{AB}(6;6)$
$\overrightarrow{AC}(-7;1)$
$\overrightarrow{AH}(-3;-3)$

D'où
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 6\times(-7)+6\times 1=-36$
et
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=6\times(-3)+6\times-3)=-36$
Est-ce que :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ ? Non !

@+


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#6 28-06-2020 18:36:25

Italbi
Invité

Re : Démonstration à faire

Sinon tu peux utiliser la relation de Chasles (qui est la démonstration "officielle) qui est beaucoup plus simple (avec AC=AH+HC, en suite tu fais AB.(AH+HC)=AB.AH+AB.HC, Or AB et HC sont orthogonaux donc AB.HC=0
On a donc AB.AC=AB.AH=AB*AH (car colinéaires de même sens).
En revanche, ce n'est pas AB.AC=-AB.AH mais AB.AC=AB.AH=-AB*AH (car colinéaire de sens opposé).
En effet, si ils sont colinéaires de même sens on a : AB.AH=AB*AH*cos(0)   avec cos(0)=1
Si ils sont de sens opposés on : AB.AH=AB*AH*cos(180)   avec cos(180)=-1

#7 28-06-2020 19:13:37

yannD
Membre
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Re : Démonstration à faire

Comment trouves-tu cos(0) = 1
et cos(180)  = -1

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#8 28-06-2020 19:48:22

Italbi
Invité

Re : Démonstration à faire

On sait que dans le 1e cas, les vecteurs AB et AH sont colinéaires de même sens. Si on les projette sur une droite on remarque que les points A, H et B sont alignés dans le même ordre et on a bien cos(HAB)=cos(0°)=1
De la même manière, dans le 2e cas, les vecteurs AB et AH sont colinéaires de sens opposé. Si on les projette sur une droite on remarque que les points H, A et B sont alignés dans le même ordre et on a bien cos(HAB)=cos(180°)=-1.
Si tu ne comprends toujours pas trace une figure pour chaque cas et tu comprendras.

#9 28-06-2020 20:26:23

yannD
Membre
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Re : Démonstration à faire

Bonsoir Italbi et merci beaucoup pour ton aide
mais quand tu dis que tu projettes les vecteurs sur une droite , tu traces des lignes perpendiculaires pour chaque vecteur ?

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#10 30-06-2020 18:35:45

Italbi
Invité

Re : Démonstration à faire

Bonjour, Non je les mets juste sur la même droite.
De rien.

#11 01-07-2020 11:54:46

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 892

Re : Démonstration à faire

Bonjour,

@Italbi
C'est bien de vouloir aider les autres, c'est la philosophie de BibMath...
MAIS, ça :

(avec AC=AH+HC, en suite tu fais AB.(AH+HC)=AB.AH+AB.HC, Or AB et HC sont orthogonaux donc AB.HC=0
On a donc AB.AC=AB.AH=AB*AH (car colinéaires de même sens).
En revanche, ce n'est pas AB.AC=-AB.AH mais AB.AC=AB.AH=-AB*AH (car colinéaire de sens opposé).
En effet, si ils sont colinéaires de même sens on a : AB.AH=AB*AH*cos(0)   avec cos(0)=1
Si ils sont de sens opposés on : AB.AH=AB*AH*cos(180)   avec cos(180)=-1

c'est un "joli" pataquès...
Où sont les vecteurs, où sont les longueurs ? Où sont les vecteurs ? C'est le boulot de celui qui est dans la panade de faire le tri ?

Je te conseille de lire ceci : Code Latex
Rien qu'utiliser cette syntaxe :
\overrightarrow{AB} et l'encadrer par un dollar de chaque côté te permet d'obtenir : $\overrightarrow{AB}$ qui est tout de même plus lisible, non ?
Alors, le modérateur que je suis te demande de bien vouloir faire un effort, parce que, au moins réutiliser cette seule écriture te permet de devenir lisible sans ambigüité...

@+


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#12 01-07-2020 13:11:40

Italbi
Invité

Re : Démonstration à faire

Bonjour,
Oui excusez moi je ferais plus attention par la suite.
@+

#13 01-07-2020 18:31:59

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 14 892

Re : Démonstration à faire

Bonsoir,

Je pense qu'il est temps que je recadre tout ça...
Il est faux d'écrire :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$

La preuve :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\vec 0$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH})=\vec 0$
Soit le point D tel que
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH}$
A quelle condition aurait-on :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\vec 0$
Si (AB) et (AD) sont perpendiculaires ?
    H confondu avec A donc $(CA)\perp (AB)$, d'où $\overrightarrow{AH}=\vec 0$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
    Et dans ce cas $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\vec 0$
    Et tout comme zéro n'a pas de signe, le vecteur nul n'a pas de sens particulier.
Donc ici, écrire
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ n'a aucun sens...

Par contre,
que $H\in[BA)$ et  $H\not \in [AB]$ ou $\in [AB]$, l'écriture :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ est toujours vraie...
En effet, cette démonstration est vraie quels que soient C et H son projeté orthogonal sur (AB) :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=0$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AH})= 0$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HA})= 0$
$\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0$
Et ceci est vrai par construction puisque H est tel que $(HC)\perp (AB)$.
Ce que j'ai déjà dit mais que YannD n'a pas relevé, j'en ai été très surpris... J'espère qu'il ne pensait pas que je racontais des âneries !
Donc l'énoncé devrait être :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AH$ si les vecteurs  $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB.AH$ si les vecteurs  $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens opposés.

Un produit scalaire est un réel, donc positif ou négatif (parfois nul).
Or AB et AC sont des longueurs, donc des réels positifs...
Donc, dans le cas où C est tel que H, son projeté orthogonal sur (AC) est à l'extérieur de [AB] et sur la demi-droite [BA), le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ est négatif.
Donc  puisque $AB\times AH>$0 il faut écrire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$

Maintenant, on peut discuter valablement....
Hetchetu Welo (J'ai parlé - En Sioux -)

@+


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