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#1 30-06-2020 15:03:27

Sed
Invité

Probabilités

Bonjour
On donne la densité de probabilité d'une variable normale de dimension 2
f(x,y)= Kexp( -2x^2 -6y^2- 4xy + 8x -4y+12)
  On demande de déterminer le coefficient de  corrélation

#2 30-06-2020 15:15:54

freddy
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Re : Probabilités

Sed a écrit :

Bonjour
On donne la densité de probabilité d'une variable normale de dimension 2
f(x,y)= Kexp( -2x^2 -6y^2- 4xy + 8x -4y+12)
  On demande de déterminer le coefficient de  corrélation

Et ? Tu sais déterminer la matrice de variance-covariance à partir de cette information ?

Dernière modification par freddy (30-06-2020 15:16:58)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 30-06-2020 16:03:57

Tit
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Re : Probabilités

Justement c'est ça mon problème car si je savais déterminer la matrice des variances covariance je pouvais facilement déduire la covariance et les écarts type

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#4 30-06-2020 16:33:06

Tit
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Re : Probabilités

La partie linéaire dans l'expression de la densité m'embrouille un peu..je veux pouvoir réécrire la densité pour obtenir sa forme générale

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#5 30-06-2020 16:56:25

freddy
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Re : Probabilités

Re,

tu as un truc du genre $-\frac{1}{2}(x-E(x),y-E(y))\times M^{-1}\times (x-E(x),y-E(y))'$ et M est une matrice carrée d'ordre 2, c'est la matrice symétrique de variance-covariance.
C'est la théorie, après, il faut chercher un peu sur la partie analytique, en effet.

Dernière modification par freddy (01-07-2020 08:58:08)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 30-06-2020 17:04:07

Tit
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Re : Probabilités

La partie linéaire dans l'expression de la densité m'embrouille un peu..je veux pouvoir réécrire la densité pour obtenir sa forme générale

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#7 30-06-2020 17:06:02

Tit
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Re : Probabilités

La partie linéaire dans l'expression de la densité me dérange un peu..je veux pouvoir réécrire la densité pour obtenir sa forme générale

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#8 30-06-2020 17:16:54

Tit
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Re : Probabilités

Je trouve:
  M=. 2. 2
          2. 6
Mais je ne sais pas comment déterminer E(x) et E(y)

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#9 30-06-2020 17:43:52

LCTD
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Re : Probabilités

Bonjour,

Je pense que vous pouvez vous en sortir par des calculs ( c'est long c'est tout),voici les formules que je connais :

le coefficient de corrélation est : $Corr(x,y)=\dfrac{cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$
où cov(x,y)  est la covariance et $\sigma_x$ et $\sigma_y$ sont les écarts types en x et en y

$cov(x,y)= E(X,Y) -E(X)E(Y)$
$\sigma_x = \sqrt{V(x)}$ avec $V(x)=E(x^2)-(E(x))^2$ où V désigne la Variance et E l'Espérance
$\sigma_y = \sqrt{V(y)}$ avec $V(y)=E(y^2)-(E(y))^2$
pour une variable aléatoire continue :
$E(X,Y)=\int \int_D xyf(x,y)dxdy$ où D est le domaine d'intégration ( variation de x et y)
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_x(x)dx$
$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_y(y)dy$
$f_x(x)=f(x,\infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$
$f_y(y)=f(\infty,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$

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#10 30-06-2020 17:55:12

Tit
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Re : Probabilités

Merci mais cette méthode est très longue et l'intégration est très compliqué .

S'il vous plaît j'ai besoin d'indice pour trouver les espérances de X et de y

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#11 30-06-2020 18:13:27

freddy
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Re : Probabilités

Tit a écrit :

Merci mais cette méthode est très longue et l'intégration est très compliqué .

S'il vous plaît j'ai besoin d'indice pour trouver les espérances de X et de y

Tu ne devrais pas pouvoir y arriver en raison de la constante K qui est fonction de $M$.
Je pense que tu dois être un peu plus astucieux, mais je n'ai encore fait aucun calcul, c'est juste une intuition, reprendre la formule que je t'ai donnée et faire un petit travail d'identification.

Dernière modification par freddy (30-06-2020 18:17:59)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#12 30-06-2020 18:30:37

freddy
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Messages : 7 212

Re : Probabilités

Re,

ce qui est terrible est que je ne sais pas commencer sans chercher à finir.

Commence par poser la matrice $M =\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ dont tu sais qu'il faut prendre l'inverse puis fais le calcul matriciel pour aboutir à une forme quadratique puis, identifie ! Tu peux aller plus vite en considérant que M est déjà une matrice inverse, suffira de faire le calcul à rebours ensuite.
Les coefficients $a,b,c$ sont les variances-covariances cherchées, tu devaient facilement déduire les espérances.
Go !

J'ai presque fini, ce n'est qu'une banale application numérique, pardon.

PS 1 :Pour info et sauf erreur, $M^{-1} =\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}$ et tu n'as pas besoin de calculer les espérances pour répondre à la question de ton sujet.

PS 2: toujours au bénéfice d'inventaire, tu devrais trouver une coefficient de corrélation égal à -$\sqrt{\frac{1}{3}}$, les espérances quant à elles, et dont tu n'as pas vraiment besoin, sont égales à $\frac{15}{4}$ pour $X$ et à $-\frac{7}{4}$ pour $Y$.

Dernière modification par freddy (01-07-2020 11:06:10)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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