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#1 23-06-2020 16:12:46

Elline*30
Invité

Calcul

Bonjour , qui peut m'aider à faire cet exercice s'il vous plait ?

On a. X = 12^6
           Y= 6^8
            Z = 2¹¹
Montrer que :

x^x . y^y  =  z^z

#2 24-06-2020 06:37:06

Matou
Invité

Re : Calcul

Bonjour,

est-ce que tu peux répondre à deux questions préliminaires :

Est-ce que 3 divise $z^z$ ?
Est ce que 3 divise $x^x$ ?

Bonne journée

Matou

#3 24-06-2020 10:44:14

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : Calcul

Elline*30 a écrit :

Bonjour , qui peut m'aider à faire cet exercice s'il vous plait ?

On a. X = 12^6
           Y= 6^8
            Z = 2¹¹
Montrer que :

x^x . y^y  =  z^z

Salut,

Matou a raison, regarde pourquoi :

$X=12^6=(2^2)^6\times 3^6$, $Y=6^8=2^8\times 3^8$ et enfin, $Z$ est une puissance de $2$, donc divisible uniquement par $2$.

Il doit manquer des informations dans ton énoncé.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 24-06-2020 11:48:40

Elline*30
Invité

Re : Calcul

Non , il ne manque rien dans l'énoncé .

Freddy , on ne peut pas répondre à cette question avec une autre méthode ????

#5 24-06-2020 12:44:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Bonjour,

Pourquoi une autre méthode ?
Tel quel cet énoncé est faux...
x est un multiple de 3 et (y aussi, mais ça n'a pas d'importance)
Donc $x^x$ aussi...
Et $x^x\times y^y$ par voie de conséquence également.
Conclusion
si $z^z=x^x\times y^y$, on doit retrouver le facteur 3 dans la décomposition de $z^z$ ce qui n'est pas le cas...

$x=12^6=2^{12}\times 3^6=2985984$
et
$y=6^8=(2\times 3)^8= 2^8\times 3^8=1679616$
Donc
$x^x=\left(2^{12}\times 3^6\right)^{2985984}=2^{12\times 2985984}\times 3^{6\times2985984}=2^{35831808}\times 3^{17915904}$
et
$y^y=\left(2^8\times 3^8\right)^{1679616}=2^{8\times 1679616}\times 3^{8\times 1679616}=2^{13436928}\times 3^{13436928}$

D'où :
$x^x\times y^y =2^{35831808}\times 3^{17915904} \times 2^{13436928}\times 3^{13436928}$
or,
$z=2^{11}=2048$  et  $z^z = \left(2^{11}\right)^{2048}=2^{11\times 2048}=2^{22528}$

Comment veux-tu que $x^x\times y^y=z^z$ ???

Impossible !

@+


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#6 24-06-2020 13:20:49

Elline*30
Invité

Re : Calcul

Merci pour ton aide .
J'ai une autre question , tu peux m'aider.?
Voilà ,  montrer que :
                                    _________
√x + √y + √z            √x + y + z
____________     ≤   ____________ 
        3                              √3

Avec x et y positifs

#7 24-06-2020 13:53:42

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 146

Re : Calcul

@Elline*30 pour ta deuxième question, c'est la même marche à suivre que dans ton post d'hier ou d'avant-hier, sauf qu'au lieu d'avoir $x$ et $y$, tu as $x$, $y$ et $z$. Et l'inégalité que tu essaies de prouver est encore dans le mauvais sens...

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#8 24-06-2020 14:19:59

Elline*30
Invité

Re : Calcul

C'est une question d'un devoir . freddy

#9 24-06-2020 14:33:19

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Re,

Et l'inégalité que tu essaies de prouver est encore dans le mauvais sens...

Je ne crois pas... Contre-exemple (en Python) :

from math import sqrt
x,y,z=0.16,0.04,0.25
>>> (sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))/3
0.3666666666666667
>>> sqrt((x+y+z)/3)
0.3872983346207417

Sinon, oui, suis l'idée donnée, simplifie au maximum ensuite et n'oublie pas à la fin que x, y et z sont positifs...

Mais je ne suis pas satisfait de la réponse de Elline*30 :
1. Es-tu convaincue par ce qu'on t'a dit sur ton égalité $x^x\times y^y=z^z$ ? As-tu compris et vérifié mes calculs ?
2. Pourquoi cet énoncé est-il faux (ou incomplet) ? D'où sort-il ?
3. Même avec un quotient l'égalité n'est pas vérifiée...

@+


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#10 24-06-2020 15:22:57

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 146

Re : Calcul

Oui bien vu Yoshi. En tout cas, il manque quelque chose dans l'énoncé, du style $x$, $y$ et $z$ sont compris entre $[0,1]$.

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#11 24-06-2020 15:55:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Re,

Désolé mon ami, non plus,...

from math import sqrt
>>> x,y,z=16,4,25
>>> (sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))/3
3.6666666666666665
>>> sqrt((x+y+z)/3)
3.872983346207417
>>>

C'est toujours vrai quels que soient x,y et z positifs ou nuls

Tu n'as pas dû faire la démo ! ^_^

@+


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#12 24-06-2020 16:42:31

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 146

Re : Calcul

Ah oui au temps pour moi, j'avais pas vu que c'était $\sqrt 3$ au dénominateur à droite (dans l'exo d'hier, y'avait pas de racine). Oups !

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#13 24-06-2020 17:42:54

Elline*30
Invité

Re : Calcul

Oui tu as répondu à ma question d'hier sans te rendre compte qu'il y a  √3 au dénominateur
Comment faire .?
Valoukonga

#14 24-06-2020 17:46:32

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 901

Re : Calcul

Bonjour,

Au sujet de la dernière question d'Elline*30, son égalité découle de la concavité de la fonction racine carrée :
$$\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \leq f(\frac{x+y+z}{3})$$
avec $f(X)=\sqrt X$.

Evidemment, j'imagine qu'elle n'a pas encore cette notion de concavité : il faut donc démontrer l'inégalité "à la main". Ce n'est pas complètement évident. La seule méthode que je vois est de montrer successivement que

$$1) \qquad \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2} \leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$$
(c'est facile car on élevant tout au carré, on fait apparaitre un carré parfait dont on connait le signe)

$$2) \qquad \frac{\sqrt \alpha +\sqrt \beta +\sqrt \gamma + \sqrt \delta }{4} \leq \sqrt{\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4}}$$
(en utilisant le point précédent avec $a=\frac{\alpha+\beta}{2}$ et $b=\frac{\gamma +\delta}{2}$)

$$3) \qquad \frac{\sqrt x +\sqrt y +\sqrt z }{3} \leq \sqrt{\frac{x+ y + z}{3}}$$
(en utilisant le point précédent en posant $\delta = \frac{x+ y + z}{3}$ et en remarquant que $\delta =\frac{x+y+z+\delta}{4}$)

Finalement, ça me semble bien compliqué pour ce niveau. Il y a sans doute plus simple car ce que je viens de faire fonctionne avec n'importe quelle fonction concave...

Roro.

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#15 24-06-2020 17:59:27

Elline*30
Invité

Re : Calcul

Roro désolé mais je n'ai rien compris

#16 24-06-2020 18:42:33

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 901

Re : Calcul

Bonjour,

Elline*30 a écrit :

Roro désolé mais je n'ai rien compris

C'est "normal". Mon message était plus adressé aux autres intervenants...  s'il y a une méthode plus simple je suis preneur.
En gros : si tu as la correction, merci de la diffuser sur ce site pour nous en faire profiter.

Roro.

P.S. En quelle classe es-tu ?

P.P.S. Tu dis que tu n'as rien compris, mais tu peux quand même essayer de montrer le point 1) de ce que j'ai écrit. C'est un cas plus simple que ce qui t'est demandé...

Dernière modification par Roro (24-06-2020 18:44:10)

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#17 24-06-2020 19:12:17

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Bonsoir,

Tu dois partir de
$\dfrac{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z}{3}\leqslant \dfrac{\sqrt{x + y +z}}{\sqrt 3}$
C'est à dire encore de
$\dfrac{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z}{3}\leqslant\sqrt{\dfrac{x + y +z}{3}}$
Les deux membres sont positifs et comme la fonction carré est croissantes sur $[0\,;\,+\infty[$
alors tu peux élever au carré :
$\left(\dfrac{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z}{3}\right)^2\leqslant \left(\sqrt{\dfrac{x + y +z}{3}}\right)^2$

C'est ce que je t'avais suggéré de faire...
Pourquoi ne l'as-tu pas fait ?

Alors, maintenant continue, simplification, développement, resimplification...
Go !

Et fais-nous part de tes difficultés... sinon on n'avancera pas !

@+


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#18 24-06-2020 19:53:40

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 901

Re : Calcul

Bonsoir,

Yoshi a raison, il faut essayer avant de renoncer. Surtout qu'il te donne une piste.

Essaye cette piste et tu te rendras compte des outils qu'il faut utiliser. Par contre, je ne suis pas certain que ça aboutisse aussi simplement que ça !

Bon courage, et tiens nous au courant de tes difficultés.

Roro.

Dernière modification par Roro (24-06-2020 19:53:57)

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#19 24-06-2020 20:47:47

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Re,

@Roro... C'est vrai, hélas. Je suis allé un peu vite...

@+


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#20 25-06-2020 08:47:41

Matou
Invité

Re : Calcul

Bonjour,

je ne suis pas sûr de comprendre...
On est d'accord que $x$, $y$ et $z$ sont positifs...

En partant de
$\left(\dfrac{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z}{3}\right)^2\leqslant \left(\sqrt{\dfrac{x + y +z}{3}}\right)^2$

On a bien $\left(\dfrac{x + y + z + 2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xz} + 2\sqrt{yz} }{9}\right) \leqslant \left(\dfrac{x + y +z}{3}\right)$

Ce qui donne $0  \leqslant \dfrac{2}{9} \left( x+y+z-\sqrt{xy} - \sqrt{xz} - \sqrt{yz} \right)$

Donc $0  \leqslant \dfrac{2}{9}\left(x+y+z-2\sqrt{xy} - 2\sqrt{xz} - 2\sqrt{yz} \right) +  \dfrac{2}{9}\left(\sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz} \right)$

On a un carré parfait plus un nombre positif, on conclut sans difficulté

Cordialement

Matou

PS. Je n'ai pas encore bu de café, je suis capable de dire beaucoup de bêtises dans ces conditions

PS. J'aimerais bien que notre amie Elline nous dise ce qu'elle pense de tout ça

#21 25-06-2020 10:35:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 047

Re : Calcul

Salut Matou,

Her soir, suite à l'interrogation de Roro, j'avais refait mes calculs :
$\left(\dfrac{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z}{3}\right)^2\leqslant \left(\sqrt{\dfrac{x + y +z}{3}}\right)^2$
               $\iff$
$\dfrac{x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}}{9}\leqslant \dfrac{x + y +z}{3}$
               $\iff$
$\dfrac{x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}}{3}\leqslant x + y +z$
               $\iff$
$\dfrac{2(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})}{3}\leqslant\dfrac{2(x + y +z)}{3}$
              $\iff$
$\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\leqslant x + y +z$
             $\iff$
$0\leqslant x + y +z-\sqrt{xy}-\sqrt{xz}-\sqrt{yz}$
            $\iff$
$0\leqslant (x + y +z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{xz}-2\sqrt{yz})+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}$

Et j'avais imaginé (comme toi ?) que :
$x + y +z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{xz}-2\sqrt{yz}=(\sqrt x - \sqrt y - \sqrt z)^2$
Et je me suis aperçu que c'était faux...

Où est le carré ?

@+


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#22 25-06-2020 11:06:29

Matou
Invité

Re : Calcul

Re,

Donc, j'avais raison...

quand je disais être capable de dire des bêtises

Désolé

Matou

#23 25-06-2020 11:07:19

Elline*30
Invité

Re : Calcul

Merci les amis de m'avoir aidé et désolé pour le dérangement

#24 25-06-2020 13:32:12

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 901

Re : Calcul

Bonjour,

yoshi a écrit :

$$0\leqslant x + y +z-\sqrt{xy}-\sqrt{xz}-\sqrt{yz}$$
Où est le carré ?

Il est (sont) ici :

$$ x + y +z-\sqrt{xy}-\sqrt{xz}-\sqrt{yz} = \frac{1}{2} (\sqrt x -\sqrt y)^2 + \frac{1}{2} (\sqrt y -\sqrt z)^2 + \frac{1}{2} (\sqrt z -\sqrt x)^2.$$

C'est effectivement assez direct mais pas du tout évident... je ne sais toujours pas quel est le niveau pour lequel on demande ça. On est dans la rubrique "collège-lycée", on doit donc lui proposer une solution plus simple mais je n'y crois pas trop !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-06-2020 13:33:50)

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#25 25-06-2020 13:41:32

Matou
Invité

Re : Calcul

Bravo

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