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Laulau

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Matrice Hermitienne

Bonjour !

Je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Diagonaliser M dans une base orthonormale de vecteurs propres :

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & -i \sqrt(3)\\
0 & 2 & 0\\
i \sqrt(3)  & 0 & -1
\end{pmatrix}[/tex]

Avant cette question il fallait montrer que M est hermitienne et je l'ai montré en montrant que [tex]^t\bar{M}=M[/tex]

J'ai cherché les valeurs propres et j'ai trouvé 2 et -2 puis les vecteurs propres et j'ai obtenu :

Pour [tex]\lambda =-2[/tex]
[tex]V1= \begin{pmatrix}
\frac{i\sqrt(3)}{3}\\
0\\
1
\end{pmatrix}[/tex]

Pour [tex]\lambda =2[/tex]
[tex]V2= \begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}[/tex]

[tex]V3= \begin{pmatrix}
{-i\sqrt(3)}\\
0\\
1
\end{pmatrix}[/tex]

Mais on est pas sur que ces vecteurs soient unitaires ...

Si quelqu'un a une idée ou une autre méthode je suis preneuse !

Bonne journée
Bienn cordialement,
Laurine

valoukanga

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Re : Matrice Hermitienne

Bonjour !

Ta méthode est juste, mais je n'ai pas vérifié tes calculs, je te fais confiance. Mais une astuce qu'il faut toujours avec à l'esprit quand on travaille avec des normes, c'est que si j'ai un vecteur $x$ de norme quelconque, alors en divisant $x$ par sa norme, j'obtiens un vecteur de norme 1. Tu devrais pouvoir réussir à finir !

valoukanga

Laulau

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Re : Matrice Hermitienne

Bonsoir, merci de votre réponse
Oui c'est vrai !

Par exemple pour V1 je trouve comme norme [tex]\sqrt(2/3)[/tex]
Donc en divisant tous les termes de mon vecteur je vais avoir une norme de 1.

Cependant pour V3 je trouve une norme de [tex]\sqrt(-2)[/tex] ce qui me semble impossible ...

Je vais revérifier mes calculs

valoukanga

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Re : Matrice Hermitienne

Bonjour !

J'ai vérifié tes calculs, ils sont justes. Le problème vient du calcul de la norme de tes vecteurs. Pour tout $z = (z_1, \cdots, z_n) \in \mathbb C^n$, on a :

$$ \|z\| = \sqrt{\langle z,z \rangle} = \sqrt{z_1 \overline{z_1} + \cdots + z_n \overline{z_n}} = \sqrt{|z_1|^2+\cdots + |z_n|^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |z_i|^2}.$$

Donc quand tu calcules ta norme, les $i$ et les signes $-$ n'importent pas !

Dernière modification par valoukanga (12-06-2020 20:46:51)

Laulau

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Re : Matrice Hermitienne

Oui exacte !

Je vous remercie sincèrement pour votre aide,

Je vous souhaite une bonne journée !
Bien cordialement