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#351 07-06-2020 15:08:20

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Salut,

Je vais remettre ça dans l'ordre
1. $x=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}$
   * k = 0  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}$

   * k = 1  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{13\pi}{24}$

   * k = 2  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}+\pi=\dfrac{25\pi}{24}$

   * k = 3  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{37\pi}{24} \left(\text{c'est bien inférieur à}\; 2\pi =\dfrac{48\pi}{24}\right)$
Maintenant, on ne peut aller plus loin : avec k = 4, on dépasserait $2\pi$.

2. $x=-\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}$
    Là,  attention !!!
    Pose-toi la question :
    Si j'écris $-\dfrac{11\pi}{24}\in [0\,;\,2\pi]$ est-ce vrai ou non ?
    Si tu hésites, pose-toi la question équivalente suivante
    Est-il vrai que $0\leqslant -\dfrac{11\pi}{24}\leqslant 2\pi$ ?
    Et je suis sûr que, tout de suite, la réponse va te paraître plus "facile" à donner...
   
    Donc que réponds-tu ?

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#352 07-06-2020 17:04:46

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Avec quelle valeur pour k, obtiens-tu $-\dfrac{11\pi}{24}$ ?
Parce que je trouve $-\dfrac{13\pi}{24}$ et $\dfrac{11\pi}{24}$ avec -1 et 1

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#353 07-06-2020 18:35:49

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Mais
1. C'est très simple, ici

Dans son Post #350, YannD a écrit :

k=-1, $ x=\dfrac{\pi}{24} + -\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} - \dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{11\pi}{24}$
$-\dfrac{11\pi}{24}\in [0\,;\,2\pi]$

^_^
2. Ça ne répond pas à ma question :

Yoshi a écrit :

Si tu hésites, pose-toi la question équivalente suivante
    Est-il vrai que $0\leqslant -\dfrac{11\pi}{24}\leqslant 2\pi$ ?
    Et je suis sûr que, tout de suite, la réponse va te paraître plus "facile" à donner...


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#354 08-06-2020 10:46:31

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi,
$-\dfrac{11\pi}{24}  = \dfrac{37\pi}{24}$
et comme $0\leqslant \dfrac{37\pi}{24}\leqslant 2\pi$ alors $0\leqslant -\dfrac{11\pi}{24}\leqslant 2\pi$

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#355 08-06-2020 14:49:16

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Re,

1. Oui et non 2 fois...
    Oui tu remplaces bien $-\dfrac{-11\pi}{24}$ par $\dfrac{37\pi}{24}$
2. Mais non tu n'es pas le droit d'écrire :
   $-\dfrac{-11\pi}{24}=\dfrac{37\pi}{24}$
   Ce que tu peux écrire par contre c'est :
   $-\dfrac{-11\pi}{24}=\dfrac{37\pi}{24}\quad [2\pi]$
   En fait, on devrait utiliser le symbole $\equiv$, le "=" est traître pour ceux qui ne sont pas habitués...
   Mais le = est passé dans les habitudes et validé par les autorités mathématiques.
   Moi, personnellement le =  ne me gêne plus parce que j'ai     toujours dans un coin de ma tête une pancarte où il est écrit :
   Attention, ce "=", symbole qu'on utilise dans une comparaison habituelle entre deux nombres, n'a pas ici le même sens.
   Et le modulo $2\pi$ est indispensable que tu utilises $=$ ou $\equiv$

3. Et en prenant $\pi\approx 3.14$ si je récris ce que tu as noté en faisant le calcul on obtient :
    a) -1,44 = 4,84 j'espère que ça te choque davantage ?
        Par contre ce qui est vrai c'est que le reste entier de la division de -11 par 24 est le même ce lui de 37 dans la division de 37%24
        Cf Python :       

>>> -11%24 == 37%24
                True
>>> -11%24
13
>>> 37%24
13
>>>

       Donc tu as le droit d'écrire  : $-\dfrac{-11\pi}{24} = \dfrac{37\pi}{24}\quad [2\pi]$
   b) Je récris en valeurs approchées ta conclusion : $0\leqslant -1,44\leqslant 6,28$
       Et là, rien ne te choque ?
       Si la réponse est non, demande à un élève de 5e si les 3 nombres sont bien rangés par ordre croissant, rt tu verras sa réaction...
       En bleu l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$, en rouge $[-\pi\,;\,\pi]$.
       J'ai ajouté les bornes er les valeurs $-\dfrac{-11\pi}{24}$ et $\dfrac{37\pi}{24}$
       https://www.cjoint.com/doc/20_06/JFineZ … -trigo.png

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#356 08-06-2020 17:05:14

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir Yoshi,
Comment -trouves tu le reste d'une division avec pi au numérateur ?

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#357 08-06-2020 17:57:32

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bin, je me passe de $\pi$
C'est pourtant visible sur ce que j'ai écrit dans le post précédent
J'ai à comparer les restes de ak et bk dans la division par d, alors je compare les restes de a et b.
Exemple :
Je vais comparer les restes de 11k et 25k dans la division par 6  :
  11 = 6 * 1 + 5   --> 11k = 6 * k  + 5k
  29 = 6 * 4 + 5   --> 25k = 6 * 4k+ 5k
Et peu importe si  5k est >6, puisque pour 11k et 29k  le reste est 5k. Si nécessaire, je redivise 5k par 6 et j'aurai un reste < 6...
L'important est que les restes soient égaux...

Donc je cherche le reste de -11 dans la division par 24 et celui de 37.
Et je ne veux pas me casser la tête : je demande à Python --> print(-11%24) me renvoie 13...


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#358 10-06-2020 20:12:48

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir Yoshi, je me mélange les crayons avec les divisions avec pi
et je ne comprends pas ce calcul  : 25k = 6 * 4k+ 5k

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#359 10-06-2020 20:43:24

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir,

2 jours pour me dire ça ?
25= 6 * 4 + 5
je choisis un nombre k non nul par lequel, je multiplie les 2 membres :
25k = k(6 * 4 + 5)
Je développe :
25k = 6* 4k + 5k
Je procède de la même façon avec
11 = 6 * 1 + 5   
en utilisant le même k, j'obtiens :
11k = 6 * k  + 5k

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#360 10-06-2020 20:54:16

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Oui, mais le 5

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#361 10-06-2020 20:57:18

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Comment trouves-tu le 5 dans  25k = 6 * 4k+ 5k

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#362 10-06-2020 21:05:12

yannD
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Re : Dm produit scalaire

j'ai fait le calcul avec $\dfrac{25\pi}{6}$ et en lisant sur le cercle, cela fait 2 x tour du cercle + $\dfrac{\pi}{6}$

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#363 11-06-2020 06:29:12

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Il ne faut plus que je te réponde trop vite...

Ça a commencé #357, première erreur, après, c'est faute du copier/coller :

29 = 6 * 4 + 5   --> 25k = 6 * 4k+ 5k

24k+5k =29k
j'ai mal tapé, je devais écrire évidemment :
29 = 6 * 4 + 5   --> 29k = 6 * 4k+ 5k
Et les explications données restent les mêmes...
Ce sont des exemples différents du sujet...
Encore une fois, désolé : c'était vraiment une faute de frappe grossière...
Les touches effacées de mon clavier sont pourtant des lettres, pas des chiffres : à la main, je ne ferais pas tant de fautes...

Le calcul que tu fais est exact  $\dfrac{25\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+4\pi$
($4\pi =2\times 2\pi$)

Et tu écrirais :
$\dfrac{25\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{6} \quad[2\pi]$
ou encore maintenant :
$\dfrac{25\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6} \quad[2\pi]$
qui se lit :
25pi sur 6 est égal à à pi sur 6 modulo 2pi

@+

[EDIT]
Pour clore le sujet, je veux rappeler que l'expression modulo $[2\pi]$ signifie que si on change la valeur $x$ d'un angle en lui ajoutant $2k\pi$, sur le cercle trigonométrique, le point M tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}=x$ et le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'}=x+2k\pi$ sont superposés... Par conséquent, le sinus, le cosinus, la tangente des angles $x, \;x=2k\pi$ sont égaux...
Revenons à la demande :
solutions dans $[0\;\,2\pi]$
    Tout angle de valeur négative (donc inférieure à zéro) ou supérieure à $2\pi$ n'appartient pas à l'intervalle demandé.
    Il convient donc de rajouter à chacun $2k\pi$
      - avec k>0 pour le premier
      - avec k<0 pour le 2nd.

Donc pour $\dfrac{-11\pi}{24}$ : $\dfrac{-11\pi}{24}+2\pi=\dfrac{-11\pi+48\pi}{24}=\dfrac{37\pi}{24}$
Et si on avait déjà trouvé $\dfrac{37\pi}{24}$, eh bien sur le cercle trigonométrique, il s'agit du même angle apparent.

Dernière modification par yoshi (11-06-2020 17:37:40)


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#364 14-06-2020 09:56:03

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi,
29 = 6 * 4 + 5   --> 29k = 6 * 4k+ 5k
le k correspond à quoi ?

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#365 14-06-2020 11:25:46

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Re,

Je redis :
29 n'est qu'est qu'un exemple...
Autre exemple:
149=6*24+5 
419=6*69+5
donc  $419 =149 \quad [6]$

Je choisis un k quelconque non nul :
$149k = 6*24k+5k$
$419k = 6*69k+5k$
Donc 
$419k =149k \quad [6]$

Test avec k=9 (par exemple)
149*9=6*(24*9)+(5*9)
419*9=6*(69*9)+(5*9)
Donc
$1341 = 3771\quad [6]$


Et là, un coupeur de cheveux en 4 va me faire remarquer que 5*9=45  >6 et que ça ne peut pas être le reste dans la division euclidienne de 1341 et 3771 par 6.
Mais ça se corrige  par la suite avec la valeur numérique de k
Ici avec k=9, 5k=45  et 45 =6*7+3
$1341=149*9=6*(24*9)+(5*9)=6*(24*9)+45=6*216+6*7+3=6*(216+7)+3=6*223+3$
$3771=419*9=6*(69*9)+(5*9)=6*(69*9)+45=6*621+6*7+3=6*(621+7)+3=6*628+3$

On a bien $1341 = 3771\quad [6]$

Avec k entier
$149k = 6*24k+5k$
$419k = 6*69k+5k$
Si k>1 alors 5k>6 donc il existe $q,\,r \in \mathbb N$ tels que 5k=6q+r
Donc :
$149k=6*24k+5k=6*24k+6q+r=6*(24k+q)+r$
$419k=6*69k+5k=6*69k+6q+r=6*(69k+q)+r$

Et $149k=419k\quad [6]$

Je répète, ce sont des exemples... indépendants des calculs de résolution de l'équation $\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ sur $[0\,;\,2\pi]$.
En réponse à ta question :

YannD a écrit :

Comment -trouves tu le reste d'une division avec $pi$ au numérateur ?

Je t'avais répondu :

Bin, je me passe de $\pi$
C'est pourtant visible sur ce que j'ai écrit dans le post précédent
J'ai à comparer les restes de ak et bk dans la division par d, alors je compare les restes de a et b.

Je te montre que si $a$ est congru (le vrai mot à la place de égal. C'est comme ça que se lit le symbole $\equiv$) à  $b$ modulo $c$, alors ak et bk aussi... donc que je peux me passer de $k$, donc de $\pi$.
----------------------------------------------------------------------------
Je redis donc :

Pour clore le sujet, je veux rappeler que l'expression modulo $[2\pi]$ signifie que si on change la valeur $x$ d'un angle en lui ajoutant $2k\pi$, sur le cercle trigonométrique, le point M tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}=x$ et le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'}=x+2k\pi$ sont superposés... Par conséquent, le sinus, le cosinus, la tangente des angles $x, \;x=2k\pi$ sont égaux...
Revenons à la demande :
solutions dans $[0\;\,2\pi]$
    Tout angle de valeur négative (donc inférieure à zéro) ou supérieure à $2\pi$ n'appartient pas à l'intervalle demandé.
    Il convient donc de rajouter à chacun $2k\pi$
      - avec k>0 pour le premier
      - avec k<0 pour le 2nd.

Donc pour $\dfrac{-11\pi}{24}$ : $\dfrac{-11\pi}{24}+2\pi=\dfrac{-11\pi+48\pi}{24}=\dfrac{37\pi}{24}$
Et si on avait déjà trouvé $\dfrac{37\pi}{24}$, eh bien sur le cercle trigonométrique, il s'agit du même angle apparent.

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#366 16-06-2020 08:53:18

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi,
$\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Pour $x \in \, [-\pi\,;\,\pi]$

$\cos(4x) = \dfrac{\pi}{6} <=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{6}+ k \times2\pi\\4x&=-\dfrac{\pi}{6}+k \times2\pi\end{cases} <=> \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\\x&=-\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}\end{cases}$

1. $x=\dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2}$
   * k = 0  --> $x=\dfrac{\pi}{24}$
   * k = 1  -->$ x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{12\pi}{24} = \dfrac{13\pi}{24}$
cette valeur de x  correspond  à l'intervalle demandé
   * k = 2  --> $x=\dfrac{\pi}{24} + \dfrac{2\pi}{2} = \dfrac{\pi}{24} + \pi = \dfrac{25\pi}{24} > \pi $
on ne peut pas aller plus loin : avec  k = 2, on dépasse $\pi$

   * k = -1  --> $x=\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{11\pi}{24}$
     $-\dfrac{11\pi}{24}\in [-\pi\,;\,\pi]$
   * k = -2  -->  $x=\dfrac{\pi}{24}  - \pi = - \dfrac{23\pi}{24}$
     $-\dfrac{23}{24}\in [-\pi\,,\,\pi]$
on ne peut pas aller plus loin : avec k=3, on est avant $-\pi$

Dernière modification par yoshi (16-06-2020 10:41:34)

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#367 16-06-2020 11:03:30

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

C'est bon...

Alors, tu retournes au Lycée le 22 ?


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#368 16-06-2020 12:02:06

yannD
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Re : Dm produit scalaire

je suis retourné au lycée de puis le 2, et nos conseils de classe sont cette semaine

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#369 16-06-2020 12:44:18

yannD
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Re : Dm produit scalaire

$x=- \dfrac{\pi}{24} + k\dfrac{\pi}{2}$
* k = 1 --> $x=- \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{11\pi}{13}$

* k = 2 --> $ x = -\dfrac{\pi}{24} + \pi = \dfrac{23\pi}{24}$

* k = -1 --> $x=-\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{13\pi}{24}$

* k = -2 -->$\dfrac{\pi}{24} - \dfrac{24\pi}{24} = -\dfrac{25\pi}{24}$

$\dfrac{11\pi}{13} ; \dfrac{23\pi}{24} \in [-\pi\,,\,\pi]$

$-\dfrac{13\pi}{24} \in [-\pi\,,\,\pi]$

mais $-\dfrac{25\pi}{24} \not\in [-\pi\,,\,\pi]$

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#370 16-06-2020 15:14:27

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Salut,

* k = 1 --> $x=- \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{11\pi}{13}$

Je pense que tu voulais dire $\dfrac{11\pi}{24}$.

Maintenant, il te reste à écrire l'ensemble des solutions...

@+


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#371 22-06-2020 13:00:45

yannD
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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi, pardon de ne pas avoir répondu plus tôt mais j'ai eu un problème avec l'ordi : il a été trop sollicité pendant le confinement et depuis la semaine dernière, l' écran est devenu tout blanc avec des lignes grises , après avoir ré-installer le système d'exploitation , cela semble redevenu normal malgré la présence de plusieurs lignes blanches dans le bas de l'écran. Maintenant je peux écrire l'ensemble des solutions $S=\left \{-\dfrac{11\pi}{24}, - \dfrac{23\pi}{24}, \dfrac{11\pi}{24},\dfrac{13\pi}{24},\dfrac{23\pi}{24}, ,\right \}$

Dernière modification par yannD (22-06-2020 14:19:36)

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#372 22-06-2020 14:19:11

yoshi
Modo Ferox
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Re : Dm produit scalaire

Salut Yann,

Plus exactement
$S=\left \{- \dfrac{23\pi}{24},-\dfrac{13\pi}{24},-\dfrac{11\pi}{24} ,\dfrac{11\pi}{24},\dfrac{13\pi}{24},\dfrac{23\pi}{24}\right \}$

On en fait encore une, mais à base de sinus ?

@+


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#373 22-06-2020 14:27:27

yannD
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Re : Dm produit scalaire

oui

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#374 22-06-2020 16:27:45

yoshi
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Re : Dm produit scalaire

Ok.

Bon...
Les cosinus aboutissaient sur 2 équations à résoudre...
Dans l'exemple que tu viens de traiter :
$\cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\4x&=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\end{cases}$             ...
Avec les sinus, les deux sinus égaux sont ceux portant sur les angles $\dfrac{\pi}{6}$ et $\pi-\dfrac{\pi}{6}$...
En effet, dans les formules vues avant, on trouve $\sin(\pi-x)=\sin(x)$

Donc ce que j'ai écrit avec les cos devient en utilisant les sin :
$\sin(4x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\4x&=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k
\pi\end{cases}$        ...
Résoudre l'équation
$\sin(4x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$   --->  Oui, j'ai changé, j'ai remplacé $\dfrac{\pi}{6}$  par $\dfrac{\pi}{3}$
1. Dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$
2. Dans l'intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$

Et ça ne change rien à ce que tu sais faire...

@+


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#375 22-06-2020 16:58:49

yannD
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Re : Dm produit scalaire

$\sin(4x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)<=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{3}+\quad k\times2\pi\\4x&=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k\times2
\pi\end{cases}<=> \begin{cases}4x&=\dfrac{\pi}{3}+k\times2\pi\\4x&=\dfrac{2\pi}{3}+k\times 2\pi\end{cases}  \begin{cases}x&=\dfrac{\pi}{12}+k\times\dfrac{\pi}{2}\\x&=\dfrac{11\pi}{12}+k\times\dfrac{
\pi}{2}\end{cases}$

Dernière modification par yannD (22-06-2020 17:09:54)

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