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brics

Invité

produit scalaire

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour résoudre cet exercice
Soit E=R₁[x] soit P,Q∈ R₁[x]
(P/Q)=[tex]\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)dt}[/tex]
1)montrer que (/) est un produit scalaire
2)trouvez une base orthonormée de E
3)trouver les coordonnées de P(x)=x+1 dans cette base orthonormée

alors pour la première question j'ai fait
(Q/P)=(P/Q)
((Q+P)/R)=(P/R)+(Q/R)
(λP/R)=(P/λR)=λ(P/R)
est ce suffisant ?
si oui je suis bloqué à la 2ème question.

Maenwe

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Re : produit scalaire

Bonsoir,
Tout d'abord, oublie la partie orthonormée de la base, connais tu une base de E ?
Si oui connais tu un outil pour orthonormaliser une base ?

brics

Invité

Re : produit scalaire

oui biensûr celui de  Gram-Schmidt

valoukanga

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Re : produit scalaire

Bonjour !

Tout d'abord pour la question 1, il faut aussi que tu montres que $(.|.)$ est défini et positif, c'est à dire que : $\forall P \in \mathbb R_1[X]$,
- $(P|P) = 0 \Rightarrow P = 0$;
- $(P|P) \geq 0$.

Ensuite pour la question 2, si tu connais une base de $\mathbb R_1[X]$ et le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, tu devrais pouvoir réussir à construire une base orthonormée...

Dernière modification par valoukanga (07-06-2020 19:06:26)

brics

Invité

Re : produit scalaire

dites moi si je me trompe mais est ce que (1,x) est une base de R₁[x]

Maenwe

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Re : produit scalaire

Re,
Tu as essayé de le vérifier par toi même ?

Dernière modification par Maenwe (07-06-2020 21:14:55)

brics

Invité

Re : produit scalaire

Oui j'ai verifié la famille est generatrice et libre mais je voudrai votre avis

Maenwe

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Re : produit scalaire

Oui c'est bien une base, en général, $\{1,X,...,X^n\}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$ ;)

Dernière modification par Maenwe (07-06-2020 22:44:04)

brics

Invité

Re : produit scalaire

pour l'orthogonalisation j'ai trouvé
V1=1 et V2=1-x
c'est bon?

brics

Invité

Re : produit scalaire

V2=1+x plutôt