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#1 21-05-2020 15:15:52
- ralph.W.X
- Invité
Inégalité
Bonjour,
Pour $x \geq 0,$ on doit prouver que $x-sin(x) \geq \frac{x^3}{(x+\pi)^2}.$
La dérivée $1-cos(x)-\dfrac{x^2(x+3\pi)}{(x+\pi)^3},$ mais je ne sais pas si ceci aide.
Merci d'avance.
#2 21-05-2020 17:16:03
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Inégalité
Bonjour,
je crois avoir compris que tu considères que lorsque deux fonctions $f$ et $g$ vérifient la propriété : pour tout $x \geq 0,$, $f(x) \geq g(x)$, alors on a $f'(x)\geq g'(x)$, ce qui est faux.. contre exemple : les fonctions identité et carré sur le segment $[\frac {1}{2};1]$
Tu peux trouver une autre minorant de $x-sin(x)$ lorsque $x \geq 0$, de sorte à l'encadrer entre $\frac{x^3}{(x+\pi)^2}$ et $x-sin(x)$
Dernière modification par Zebulor (21-05-2020 21:22:12)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#3 22-05-2020 16:40:16
- ralph.W.X
- Invité
Re : Inégalité
Salut, oui la dérivée n'aide pas, que proposez-vous, comme en encadrement?
#4 22-05-2020 17:31:38
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Inégalité
Bonjour,
Tu peux trouver une autre minorant de $x-sin(x)$ lorsque $x \geq 0$, de sorte à l'encadrer entre $\frac{x^3}{(x+\pi)^2}$ et $x-sin(x)$
Mes excuses : j'ai écrit n'importe quoi. dans la fin de ce post. Pour le moment je n'ai pas d'idée..
Dernière modification par Zebulor (22-05-2020 21:46:54)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#5 23-05-2020 00:36:53
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Inégalité
Bonsoir,
J'ai une réponse à ceci, il faut d'abord s'occuper dans un premier temps de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2}$...
L'idée m'est venue lorsque j'ai regardé le graphe de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2} - sin(x)$, j'ai vu que la courbe suivait le tracé de la courbe de $x \mapsto x- \frac{x^3}{(x+\pi)^2}$, et j'ai exploité ceci...
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#6 23-05-2020 11:32:21
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Inégalité
Bonjour,
Une idée comme une autre... Pas très directe, mais soit.
On peut écrire l'inéquation ainsi : sin(x) <=? x - x³/(x+Pi)² (pour x >=0)
ou encore : sin(x) - x <=? - x³/(x+Pi)² (1)
soit g(x) = x - x³/(x+Pi)²
g'(x) = Pi²*(3x+Pi)/(x+Pi)³ > 0 --> g est croissante.
On a g(x) = 1 pour x = 1,06888... et donc g(x) > 1 pour x dans ]1,06888... ; +oo[
Et donc comme sin(x) <= 1, sin(x) <= x - x³/(x+Pi)² est vrai pour x dans ]1,06888... ; +oo[
Reste à traiter x dans [0 ; 1,06888...]
sin(x) = x - x³/3! + x^5/5! - ...
Pour n'importe quel x dans [0 ; 1,06888...], chaque terme de la série est en module plus petit que le suivant et les termes tendent vers 0 en +oo, donc la série converge et l'erreur faite en négligeant les termes après un certain rang est inférieure au premier terme négligé et en a le signe) (Théorème de Leibniz si je me souviens bien)
--> sin(x) >= x - x³/3! + x^5/5! (puisque le 1er terme négliger est négatif (-x^7/7!)
--> sin(x) - x >= - x³/3! + x^5/5!
Et donc, si on peut montrer que - x³/3! + x^5/5! <= - x³/(x+Pi)² (pour x dans [0 ; 1,06888...]), alors (1) sera a fortiori démontré
- x³/3! + x^5/5! <=? - x³/(x+Pi)² (OK si x = 0 et si x dans ]0 ; 1,06888...]) -->
- 1/3! + x²/5! <=? - 1/(x+Pi)² (puisque x positif)
(-1/6 + x²/120).(x+Pi)² <= -1
(-1/6 + x²/120).(x+Pi)² + 1 <= 0
(-20 + x²).(x+Pi)² + 120 <= 0
-20x²-20Pi²-40Pi.x + x^4 + Pi²x²+2Pix³ + 120 <= 0
x^4 +2Pix³ +(Pi²-20)x²-40.Pi.x + 120-20Pi² <= 0
Etude de signe de P(x) = x^4 +2Pix³ +(Pi²-20)x²-40.Pi.x + 120-20Pi² (sur ]0 ; 1,06888..0]) ... et c'est négatif --> c'est bon
Donc on a bien sin(x) <= x - x³/(x+Pi)² (pour x >=0)
Comme d'habitude ... toutes bêtises incluses.
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#8 23-05-2020 12:10:41
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Inégalité
Bonjour,
@Black Jack le mieux aurait sûrement été de laisser répondre seul celui qui a posé la question, et à ceux qui ont la réponse de guider...
J'ai vu dans un message " Pour le moment je n'ai pas d'idée.".
Et un autre pas suffisamment concret pour donner une piste sérieuse. (mais ce n'est que mon avis sur ton message ... comme tu as le tien sur le mien).
J'ai donc répondu un peu plus (trop ?) explicitement.
Avec toutes les réserves qui poussent à ne pas prendre ma réponse sans méfiance ... et donc de tout vérifier et probablement corriger.
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