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Tania

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vecteurs

Bonjour, j'aimerais connaître la différence entre une base et un repere.
Je ne comprends pas pourquoi qque fois on utilise dans les exercices ou exemples une base plus tôt qu'n repère et vice-versa ?
Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : vecteurs

Re,

Bonjour, j'aimerais connaître la différence entre une base et un repere.

Là, je ne pige pas.
Tu peux donner un exemple d'exo de chaque, s'il te plaît ?
Parce que là, c'est un peu succinct.

Merci

@+

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Tania

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Re : vecteurs

Dans un exercice on a une base orthonormé et des vecteurs et on me demande de déterminer les coordonnées des vecteurs.

Et puis dans un autre exercices, on a un repère orthormee et des points A, B, C, et D et on demande de déterminer les coordonnées des vecteurs AB, CD, CB

Pourquoi dans un cas on utilise une base et dans l'autre un repère ?

Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : vecteurs

Bonjour,

Ton repère de toute façon peut être
- cartésien axes non perpendiculaires,
- orthogonal : axes perpendiculaires avec unités de longueurs différentes du chaque axe,
- orthonormal ou orthonormé : axes perpendiculaires avec la même unité de longueur sur les deux axes.
Je doute fort que tu aies souvent rencontré les deux premiers...

Ta réponse confirme ce que je pensais : c'est juste une histoire de présentation, dans la pratique ça ne change pas grand chose, voire rien du tout.
Jusqu'en troisième tu avais affaire à un repère (O,I,J) avec I et J de coordonnées I(1;0) et J(1;0)...
Mais il ne t'aura pas échappé que les vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$
- ont la même origine,
- ont la même norme (longueur, si tu préfères) égale à 1,
- sont perpendiculaires (ou orthogonaux).
Ces deux vecteurs sont donc maintenant désignés par $\vec i$ et $\vec j$
En arithmétique, une base de numération comprend quelques nombres qui permettent d'écrire tous les autres au moyen d'une combinaison de nombres pris dans cette base.
Ainsi, nous utilisons couramment la base dix qui comprend dix nombres de base : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  et permet d'écrire n'importe quel autre nombre.
I y a aussi la base deux qui ne connaît que 0 et 1 : 135 en base dix, c'est 10000111 en  base deux, ou encore 116572 en base dix devient 11100011101011100 en base deux...
C'est beaucoup plus long à écrire, mais on peut écrire tous les nombres quand même...

De même, pour revenir à la question avec les vecteurs, les vecteurs $\vec i$ et $vec j$ permettent d'écrire de façon unique n'importe quel autre vecteur, par exemple : $\vec V =3\vec i + 4 \vec j$ (ce que tu n'écrivais pas en 3e)  et le point A tel que
vecteur $\overrightarrow{OA}=\vec V$ a pour coordonnées (3;4)...

Tu vois que ça ne change pas grand chose.
Avec A(3;4), B(5;3),
On a $\overrightarrow{OA}(3\;\,4)$, soit $\overrightarrow{OA}=3\vec i + 4\vec j$  et  $\overrightarrow{OB}(5\,;\,3)$  ou encore $\overrightarrow{OB}=5\vec i+3\vec j$,
la relation de Chasles permet d'écrire :
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-3\vec i  -4\vec j+5\vec i+3\vec j$

On met $\vec i$ et $\vec j$ en facteur commun :
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-3\vec i + -4\vec j+5\vec i+3\vec j=(-3+5)\vec i+(-4+3)\vec j$

Si j'écris cela comme ça :
$\overrightarrow{AB}=(5-3)\vec i+(3+(-4))\vec j= (2\,;\,-1)$
Tu retrouves la règle de 3e qui disait que les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$
   étaient $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$
   soit $(\text{abscisse de l'extrémité - abscisse de l'origine}\,;\,\text{ordonnée de l'extrémité - ordonnée de l'origine})$
On dit que :
$(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée...

Rien de vraiment nouveau...

@+

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Tania

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Re : vecteurs

Merci beaucoup pour votre aide :)

Tania

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Re : vecteurs

Bonjour,
J'aimerais connaître la différence entre repère orthormee et repère orthonormal ?
Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : vecteurs

Bonjour,

Dans la pratique courante, c'est synonyme....
Personne en Lycée ne fait le distinguo.
Pour repérer la position d'un point appartenant à une droite, il faut la munir d'un point origine et d'un vecteur qui servira d'unité de longueur, on a donc un repère normé. Cette droite est alors nommée axe.
Pour repérer la position d'un point du plan, il te faut deux axes.
Si les deux axes sont munis chacun d'un repère normé, que la norme (longueur de chacun des vecteurs de base) est la même, qu'elle vaut 1 et que les axes son perpendiculaires, le repère est orthonormé. On trouve souvent l'expression :
dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$ on donne...
ou
dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$, on donne..

Si le plan est mini d'un repère orthonormal, la seule différence avec ce qui précède c'est le fait que si les deux vecteurs de base ont bien la même longueur, celle-ci ne vaut pas forcément 1...

C'est tellement subtil que tu m'as obligé à réfléchir soigneusement : je n'avais jamais vraiment fait attention et ça ne m'avait jamais empêché de dormir...
Il me semble avoir vu quelque part que certains disaient que orthonormal était de l'anglais francisé qui était apparu, il y a quelques dizaines d'années lors d'une réforme... Je ne crois pas à cette version.
De plus orthonormal me gêne : tu vas voir apparaitre l'an prochain, (cette année, c'est râpé..) la notion de vecteur normal :
- dans le plan, il sera perpendiculaire à une droite
- dans l'espace, il pourra de plus être perpendiculaire à un plan.
On pourrait alors croire que orthonormal est un pléonasme comme descendre en bas, monter en haut, préparer à l'avance...

Jusqu'à ce qu'on t'impose une lecture plus précise de l'expression, considère que les deux sont synonymes et tu ne t'en porteras pas plus mal ^_^...

@+

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Tania

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Re : vecteurs

Super c'est compris ! Merci bien