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#1 02-05-2020 18:50:44

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Formulation variationnelle

Bonjour
on considère sur $[0,\infty] \times [0,1]$l'équation
$$
u_t + uu_x -\nu u_{xx}= f(t,x)
$$
avec les conditions au bord $u(t,0)= g_0(t), u(t,1)=g_1(t), t>0$ et la condition initiale $u(0,x)=u^0(x)$. On suppose que $g_i$ et $u^0$ sont continues.
L'équation peut être écrite sous la forme
$$
u_t+ \dfrac{1}{2} (u^2)_x-\nu u_{xx}= f(t,x)
$$
Je lis que pour trouver la formulation variationnelle, on a besoin d'une fonction régulière qui satisfait les conditions au bord
$$
G(t,x)= (1-x)g_0(t)+ xg_1(t)
$$

Je n'arrive pas à deviner ce que veut dire l'écriture $w \in H_0(0,1)$ en sachant que $w$ est une fonction de $(t,x)$ où est passé $t$?

Merci d'avance.
et essayer de trouver $w$ telle que $u=w+G$ satisfait l'équation différentielle
$$
w_t +G_t +\dfrac{1}{2} ((w+G)^2)_x -\nu w_{xx}=f(t,x)
$$
Maintenant on cherche $w \in H_0(0,1)$ telle que $w(0,x)=u^0 - G(0,x)$ telle que pour tout $v \in H_0(0,1)$ on a
$$
\displaystyle\int_0^1 v(w_t +\dfrac{1}{2}(w+G)^2_x)+ \nu v_x w_x = \displaystyle\int_0^1 v(f(t,x)+ \dot{g_0}-\dot{g_1}) dx
$$

Je n'arrive pas à deviner qui est cet espace $H_0(0,1)$ qui contient une fonction $w(t,x)$ à deux variables t et $x$?

Cordialement

Hors ligne

#2 09-05-2020 15:26:02

lekoue
Membre
Inscription : 21-09-2016
Messages : 30

Re : Formulation variationnelle

Bonjour ccapucine. Je pense que l'écriture $w\in H_0(0,1)$ est tout simplement pour ne pas alourdir les notations. en fait ça veut dire $w(t,.)\in H_0(0,1)$ pour presque tout $t>0$.

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