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#1 27-04-2020 18:12:24

BenjaminB
Invité

Sous groupe d'un groupe dérivé

Bonjour j'ai une question qui m'embête depuis quelques jours , si quelqu'un a la réponse ou une piste ?
On définit un groupe G et et deux sous groupe H et K comme suit :
G ensemble des matrices de la forme :
a..........b..........c
0....a^-1.........d        avec a non nul , a,b,c,d des réels
0.........0............1
K ensemble de matrice de la forme :
1..........b........c
0..........1.......d
0.........1..........1
Et H l'ensemble des matrices de la forme:
a...........0.........0
1.........a^-1......0
0...........0............1

J'ai déjà montré que:
_ G=H*K,

_pour A dans H et B dans K ,
A*B*A^-1 était dans K.
J'en ai conclu d'après le point précédent que K est normal dans G

_ A*B*A^{-1}B^{-1} était dans K

Je dois alors montrer que K est un sous groupe du groupe dérivé de G i.e : K<D(G)

Si quelqu'un voit comment faire je suis preneur d'aide
Dans l'impatience de vous lire , Benjamin ?

#2 27-04-2020 18:14:42

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Mes excuses je me suis trompé pour l'ensemble K, il ya un 1 qui devrait être un 0, en effet il s'agit de matrices supérieures

#3 27-04-2020 18:21:40

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Décidément.... je me suis trompé pour les matrices de H aussi, il ya aussi un 1 qui devrait être un 0, ce sont des matrices supérieures

#4 27-04-2020 20:04:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

BenjaminB a écrit :

_ A*B*A^{-1}B^{-1} était dans K

Je ne comprends pas ce que tu as écris là... Quelles sont les hypothèses sur $A$ et $B$?

Hors ligne

#5 27-04-2020 20:08:40

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Bonjour pardon pour le manque de clarté A appartient à H alors il existe a un réel non nul nul tel que
a..........0.........0
0....a^-1.........0     = A
0.........0............1

De même B apartient à K il existe donc des reels b,c,d tels que

1........b..........c
0........1.........d       = B
0.........0.........1

#6 27-04-2020 20:09:56

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

En somme les commutateur [A,B] pour A dans H et B dans K appartiennent à K

#7 28-04-2020 18:54:42

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Personne ?

#8 28-04-2020 19:44:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Qu'as tu trouvé comme formule pour $ABA^{-1}B^{-1}$ à la question précédente?

Hors ligne

#9 28-04-2020 22:01:43

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Alors avec :

B=

1.......b........c

0 ......1......... d

0 ....... 0 ........1


Et A=

a.........0.........0

0 .....a^{-1}.....0

0 ...... 0 .........1


J'obtiens pour [A,B] la matrice

1...........a^{2}b-b........ac-c+bd(1-a)

0............1.............  -d+a^{-1}d

0 ....................0................... 1

PS : je suis sincèrement désolé pour la très mauvaise rédaction mais je n'ai pas réussis a utilisé latex.. mes matrices ne s'affichaient pas

#10 29-04-2020 06:53:48

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Voici comment j'essaierais de faire (mais je n'ai pas essayé!).
Je prendrais un élément quelconque de $K$ (avec des coefficients $a',b',c'$), et j'essaierais de démontrer que c'est un commutateur. Avec ton calcul précédent, il suffit de trouver $a,b,c$ tels que $a'=a^2b-b$, etc....
Je ne sais pas si cela fonctionne, mais c'est la seule idée que j'ai pour le moment.

F.

Hors ligne

#11 30-04-2020 09:12:49

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Il s'agissait bien de celà,
Ça donne un système à 3 équations et 4 inconnues où il suffit de fixer  a ( par exemple)

#12 30-04-2020 09:13:08

BenjaminB
Invité

Re : Sous groupe d'un groupe dérivé

Merci

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