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pipo12

Invité

Bijection

Bonjour à tous,

On note,
[tex] \mathbb{R} [/tex] l'ensemble des réels.
[tex] \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) [/tex] l'ensemble des parties de [tex] \mathbb{N} [/tex] qui est l'ensemble des entiers naturels.
Comment montrer que [tex] \mathbb{R} [/tex] et [tex] \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) [/tex] sont en bijection ?
Voici ce que j'ai fait,
J'ai essayé de définir une fonction ensembliste de la manière suivante.
[tex]f : \mathbb{R}^+ \to \mathcal{P} ( \mathbb{N} )[/tex] , avec : [tex]f(x) = [ 0 , E(x) ] \cap \mathbb{N}[/tex] ( [tex]E(x)[/tex] est la partie entière de [tex]x[/tex] ), mais [tex]f[/tex] n'est pas injective, parce que : [tex]f( \frac{1}{2} ) = f( \frac{1}{3} ) = \mathbb{R}^- [/tex] pour :[tex] \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}[/tex]  par exemple.
Comment alors montrer qu'il existe cette bijection ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Bijection

Bonjour,

  Ce n'est pas si facile de construire directement une bijection entre ces deux ensembles. Connais-tu le théorème de Cantor-Bernstein?

F.

pipo12

Invité

Re : Bijection

Oui, je le connais, mais ce théorème ne m'aide en rien.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 049

Re : Bijection

Si, il va t'aider, car c'est plus facile de fabriquer une injection de $\mathcal P(\mathbb N)$ dans $\mathbb R$ et une injection de $\mathbb R$ dans $\mathcal P(\mathbb N)$ que de fabriquer directement une bijection.

Voici une idée pour fabriquer une injection de $[0,1[$ dans $\mathcal P(\mathbb N)$.
Tout réel de $[0,1[$ s'écrit de façon unique sous la forme $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k 2^{-k}$ avec $a_k\in\{0,1\}$, et la suite $(a_k)$ qui n'est pas stationnaire égale à $1$ (écriture propre en base 2).
Tu peux alors considérer l'application qui à $x$ associe la partie $A_x$ définie par $A_x=\{k\in\mathbb N;\ a_k=1\}$.

F.