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Myriamdamk

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Convergence presque sur

Bonjour,

Je ne suis pas sur si ce que j'ai fait est correct :

Soit [tex](A_i)_{i≥1}[/tex] et [tex](B_i)_{i≥1}[/tex] sont deux suites d’évènements du même espace probabilisé [tex](\Omega , F , P )[/tex] vérifiant :
a) Les [tex]B_i[/tex] sont indépendants et de même probabilité [tex]P(B1)>0[/tex]

Montrer que [tex]\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{1}B_i[/tex] converge presque surement vers [tex]+\infty[/tex].

Ce que j'ai fait :

J'ai utilisé la loi forte des grands nombre ( les hypothèses sont vérifiées ), j'ai donc [tex]\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{1}B_i[/tex] converge presque surement vers [tex]E(\mathbb{1}B_1 )[/tex].

Ensuite c'est à ce moment que je ne sais pas si j'ai le droit de faire ce que j'ai fait : ( J'ai multiplié par n des deux cotés )

J'obtiens : [tex]\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{1}B_i[/tex] converge presque surement vers [tex]n E(\mathbb{1}B_1 ) [/tex]

Et comme [tex]E(\mathbb{1}B_1 )= P(B_1) >0 [/tex]
Donc [tex]n E(\mathbb{1}B_1 ) = nP(B_1)[/tex] converge presque surement vers [tex]+\infty[/tex].

Ainsi on a montré que [tex]\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{1}B_i[/tex] converge presque surement vers [tex]+\infty[/tex].

Merci d'avance

Myriamdamk

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Re : Convergence presque sur

Mince, les 1 sont des indicatrices

Fred

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Re : Convergence presque sur

Bonjour tel que c'est écrit ce n'est pas correct. Tu peux simplement utiliser que si une suite $(u_n)$ tend vers un réel non nul alors $(nu_n)$ tend vers l'infini.

F

Myriamdamk

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Re : Convergence presque sur

J'ai donc rédigé de la façon suivante :

D'après la loi forte des grands nombres : [tex]\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1B_i[/tex] converge presque surement vers [tex]E(1B_1)[/tex].

Ainsi : [tex]\sum\limits_{i=1}^n 1 B_1[/tex] converge presque surement vers [tex]+\infty[/tex] car [tex]E(1B_1) = P(B_1)>0[/tex]

On a donc montré que [tex]\sum\limits_{i=1}^n 1 B_1[/tex] converge presque surement vers [tex]+\infty[/tex].

Est-ce correct maintenant ?