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#1 01-04-2020 00:13:21

ccapucine
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Majoration

Bonjour
on pose
$$
I= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp\left(\dfrac{-|y|^2}{4 \delta_n \kappa}\right) |y| \mathrm{d}y
$$
où $\kappa >0$ et $\delta_n= \dfrac{1}{2^n}, \ n \in \mathbb{N^{\star}}$.

Ma question est: y-a-t-il un moyen de majorer $I$ par une cinstante $C_{\kappa,\delta_n} \leq C'_{\kappa} \delta_n$?

Bien cordialement

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#2 01-04-2020 06:12:10

Fred
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Re : Majoration

Bonjour,

  Il me semble qu'effectue le changement de variables $u=\frac{y}{\delta_n\kappa}$ simplifierait bien la situation.

F.

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#3 01-04-2020 10:40:03

ccapucine
Membre
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Re : Majoration

Bonjour Fred
si on pose $u=\dfrac{y}{\delta_n \kappa}$ alors on aura (sauf erreur de ma part):
$$
I= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{\delta_n^2 \kappa^2}{4} |u|^2) (\delta_n \kappa)^2 |u| \mathrm{d}u= \dfrac{2}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \exp(-\dfrac{\delta_n^2 \kappa^2}{4} |u|^2)
$$
Si ceci est vrai, on peut majorer par une constante qui dépend de $\kappa$ multiplié par $\delta_n$? S'il vous plaît.
Ma difficulté est que je n'arrive pas à sortir une majoration avec $\delta_n$ (seulement $\sqrt{\delta_n}$et ça ne m'arrange pas).

Bien cordialement

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#4 01-04-2020 11:00:05

Fred
Administrateur
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Re : Majoration

Bonjour,

  Je suis désolé, je voulais dire $u=y/\sqrt{\delta_n\kappa}$.

F.

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#5 01-04-2020 11:42:53

ccapucine
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Re : Majoration

Dans ce cas on obtient (sauf erreur de ma part)
$$
I= \dfrac{1}{(4\pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{\delta_n \kappa |u|^2}{4 \delta_n \kappa}) \sqrt{\delta_n \kappa} |u| \dfrac{1}{\sqrt{\delta_n \kappa}} \mathrm{d}u
$$
$$
= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|u|^2}{4}) |u| \mathrm{d}u
=
\dfrac{-2}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|u|^2}{4})(-\dfrac{1}{2}) |u| \mathrm{d} u
$$
Donc
$$
I= \dfrac{-2}{4 \pi \kappa} \dfrac{1}{\delta_n^{d/2}} \exp(-|u|^2).
$$
Je pense que c'est correct mais le problème est que je ne vois pas que cette quantité est inférieure à $\delta_n$. Vous voyez que c'est possible de comparer avec $\delta_n$? S'il vous plaît. De plus cette égalité nous dit que si $n$ tend vers l'infini alors $I$ converge vers l'infini. C'est bien ça?

Bien cordialement

Dernière modification par ccapucine (01-04-2020 12:13:31)

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#6 01-04-2020 12:21:43

Fred
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Re : Majoration

Bonjour,

  Il y a au moins deux erreurs de ta part :
* d'abord, tu fais un changement de variables dans $\mathbb R^d$, pas dans $\mathbb R$, tu dois appliquer le théorème de changement de variables en plusieurs variables, dans le cas le plus simple possible ici puisque ton changement de variables est simplement une homothétie.
* Je ne comprends pas comment tu fais disparaître ta dernière intégrale à la fin alors qu'il reste un terme $\exp(-|u|^2)$.

F.

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#7 01-04-2020 13:33:49

ccapucine
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Re : Majoration

Pour le point 1: en posant $u=y/\sqrt{\delta_n \kappa}$ on a
$$
\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(\dfrac{-|y|^2}{4 \delta_n \kappa}) |y| dy
=
\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(\delta_n \kappa |u|^2) \mathrm{det} J( \sqrt{\delta_n \kappa}|u|) \mathrm{d}x.
$$

J'ai du mal avec le déterminant de la Jacobienne dans $\mathbb{R}^d$ si vous pouvez m'aider.

Bien cordialement

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#8 01-04-2020 13:35:44

Fred
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Re : Majoration

Corrige déjà ton intégrale.
Ensuite, tu as une application linéaire, et même mieux, une homothétie.
Si tu poses $y=\lambda u$, tu dois tout simplement écrire $dy=\lambda^d du$.

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#9 01-04-2020 17:31:43

ccapucine
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Re : Majoration

Merci Fred! S'il vous plaît dites moi si ceci est bon:
$$
I= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|y|^2}{4 \delta_n \kappa}) |y| \mathrm{d}y.
$$
En faisant le changement de variable $u= y/\sqrt{\delta_n \kappa}$, on obtient
$$
I= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{1}{4 \delta_n \kappa} (\delta_n \kappa) |u|^2) \sqrt{\delta_n \kappa} |u| (\delta_n \kappa)^d du
$$
$$
= \dfrac{1}{(4 \pi)^{d/2}} (\delta_n \kappa)^{\frac{d+1}{2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|u|^2}{4}) |u| \mathrm{d}u
$$
$$
= C \kappa^{\frac{d+1}{2}} (\delta_n)^{\frac{d+1}{2}} \leq C_{\kappa} \delta_n,
$$
où $C_{\kappa}= \dfrac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \kappa^{\frac{d+1}{2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|u|^2}{4}) |u| \mathrm{d}u$.

Bien cordialement

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#10 01-04-2020 20:39:43

Fred
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Re : Majoration

Je n'ai pas vérifié entièrement, mais ça a l'air correct...

F.

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#11 02-04-2020 10:28:52

ccapucine
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Re : Majoration

Bonjour
en fait non je me suis trompée dans les calculs. La Jacobienne est $(\kappa \delta_n)^{d/2}$ et pas $(\kappa \delta_n)^d$ comme je l'ai fait.
Ce qui nous donne que $I= C \sqrt{\kappa} \sqrt{\delta_n}$ où $C$ est une constante indépendante de $\kappa$ et de $n$.
S'il vous plaît est-ce qu'il y a un moyen de majorer par une constante indépendante de $n$ multipliée par $\delta_n$?

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#12 02-04-2020 10:51:36

Fred
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Re : Majoration

Si $\delta_n$ tend vers $0$ avec $n$, impossible puisque $\sqrt x$ est bien plus grand que $x$ en $0$.

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#13 02-04-2020 10:57:52

ccapucine
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Re : Majoration

Oui je m'en doutais bien mais je cherchais quand même un moyen. Et vous confirmez aussi que $\dfrac{\sqrt{\delta_n}}{\delta_n}= \dfrac{1}{\sqrt{\delta_n}}$ et ce dernier converge vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.
Vous êtes bien d'accord?

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#14 02-04-2020 11:20:31

ccapucine
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Re : Majoration

J'ai une question très bête mais je veux être sure car peut être ça me sortira de cette difficulté.
1- On a bien pour tout $y \in \mathbb{R}^d: |y^2-y| \leq |y|^2$. C'est bien ça?
2- On a
$$
I= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp\left(\dfrac{-|y|^2}{4 \delta_n \kappa}\right) |y|^2 \mathrm{d}y= C \kappa \delta
$$
C'est ok? S'il vous plaît.

Dernière modification par ccapucine (02-04-2020 11:20:50)

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#15 02-04-2020 12:32:31

Fred
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Re : Majoration

ccapucine a écrit :

J'ai une question très bête mais je veux être sure car peut être ça me sortira de cette difficulté.
1- On a bien pour tout $y \in \mathbb{R}^d: |y^2-y| \leq |y|^2$. C'est bien ça?

Qu'est-ce que ça veut dire $y^2$ pour un élément de $\mathbb R^d$?
Tu manipules tes objets sans prendre garde à leur signification.

F.

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#16 02-04-2020 12:36:18

ccapucine
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Re : Majoration

Pardon je voulais dire $|y|^2$ biensur. Je m'excuse car j'écrivais avec mon téléphone et j'avais du mal à bien voir.
Mais je pense que j'ai fait une erreur, on n'a pas l'inégalité $|y^2-y| \leq |y|^2$ pour tout $y \in \mathbb{R}^d$.

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#17 02-04-2020 13:37:26

ccapucine
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Re : Majoration

Ma question est: pour tout $y \in \mathbb{R}^d$, quel $z= y^{\alpha}$ avec $\alpha >1$ nous donne $|z-y|\leq |z|$? S'il vous plaît.

Je vous remercie d'avance pour toute votre aide.

Dernière modification par ccapucine (02-04-2020 13:39:34)

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#18 02-04-2020 13:46:49

Fred
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Re : Majoration

Même réponse que ci-dessus : ça veut dire quoi $y^\alpha$??? c'est quoi $|y^\alpha-y|$? Quelle est la signification de $|\cdot|$? C'est la norme euclidienne. Il faut d'abord que tu te mettes au clair sur les objets et les notations que tu utilises.
F.

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#19 02-04-2020 14:00:48

ccapucine
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Re : Majoration

Oui j'ai compris. En effet, j'ai écris n'importe quoi. Pardon.
En fait je cheche un $Y \in \mathbb{R}^d$ en fonction de $y$ telle que l'intégrale
$$
I = \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \exp(-\dfrac{|y|^2}{4 \delta_n \kappa}) |Y| \mathrm{d}y
$$
soit égale ou majorée par une constante indépendante de $n$ multiplié par $\delta_n$ et pas par $\sqrt{\delta_n}$.
Quel $Y$ pourrait faire ça? S'il vous plaît.

Merci beaucoup d'avance.

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#20 02-04-2020 15:33:11

Fred
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Re : Majoration

En fait, je pense que tu dois remplacer dans ton intégrale $|y|$ par $|y|^\alpha$, refaire le même calcul, et voir quelle valeur de $\alpha$ il faut utiliser pour obtenir $\delta_n$ et non $\sqrt{\delta_n}$.

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#21 02-04-2020 16:56:24

ccapucine
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Re : Majoration

Je pense que prendre $\delta_n|y|$ au lieu de $|y|$ fait aussi l'affaire car $\delta_n^{3/2} \leq \delta_n$ en sachant que $\delta_n=\dfrac{1}{2^n}$. J'ai raison?

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#22 02-04-2020 20:37:26

Fred
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Re : Majoration

Si sans doute mais tant qu'à faire tu peux prendre $\sqrt{\delta_n}|y|$. Il faut voir quel sens tu veux donner à ça.

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