Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 27-03-2020 16:59:22
- Slifer
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Probabilités
Bonjour,
Je reste bloqué devant l’exercice suivant, une indication serait la bienvenue :)
Ce qui me pose problème est le fait qu’on soit dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
Le problème est le suivant :
On suppose que le vecteur aléatoire [tex]X=(X_1,…,X_n)[/tex] possède une densité [tex]f[/tex] par rapport à la mesure de Lebesgue [tex]\lambda_n[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
On pose [tex]S=X_1 + … + X_k[/tex] pour [tex]1 \leq k \leq n[/tex]. Il faut montrer que [tex](S_1,…,S_n)[/tex] possède une densité [tex]g[/tex] par rapport à [tex]\lambda_n[/tex] que l’on doit préciser.
Je suppose qu’on part de la définition mais je ne vois pas trop comment procéder.
[tex]\forall A \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f(x) d\lambda_n (x)[/tex] avec [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex].
En vous remerciant d’avance ;)
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#2 27-03-2020 23:25:14
- Fred
- Administrateur
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Re : Probabilités
Salut,
J'imagine que tu voulais noter $S_k=X_1+\cdots+X_k$.
Voici une méthode.
Tu sais que $P(S\in A)=P( (X_1,X_1+X_2,\dots,X_1+\dots+X_n)\in A)$.
Définis l'application linéaire $h$ sur $\mathbb R^n$ par $h(x_1,\dots,x_n)=(x_1,x_1+x_2,\dots,x_1+\cdots+x_n)$.
Alors $P(S\in A)=P( h(X) \in A)=P(X\in h^{-1}(A))=\int_{h^{-1}(A)}f(x)d\lambda_n(x)$.
Tu dois pouvoir ensuite t'en sortir avec un petit changement de variables.
F.
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#3 28-03-2020 14:14:07
- Slifer
- Membre
- Inscription : 27-03-2020
- Messages : 5
Re : Probabilités
Merci de ta réponse. Effectivement il s’agit bien de [tex]S_k[/tex].
On a donc [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x)[/tex].
Pour faire un changement de variable on suppose h inversible (suffisant car h linéaire il me semble ?).
On a donc [tex]\Phi : A \rightarrow h^{-1}(A)[/tex] difféo avec [tex]\Phi(x)=h^{-1}(x)[/tex].
Ainsi, [tex]\mathbb{P} (S \in A) = \int_{h^{-1}(A)} f(x) d\lambda_n(x) = \int_A f(\Phi(x)) | \det J (\Phi (x)) | d\lambda_n (x) = \int_A f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | d\lambda_n(x) [/tex]
On pose [tex] g(x)= f(h^{-1}(x)) | \det J (h^{-1}(x)) | [/tex] et c’est bon ?
Pourquoi g est une densité ?
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#4 28-03-2020 14:30:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 048
Re : Probabilités
A nouveau par la formule de changement de variable...
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#5 28-03-2020 15:18:11
- Slifer
- Membre
- Inscription : 27-03-2020
- Messages : 5
Re : Probabilités
Effectivement.
Merci.
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