Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#26 17-03-2020 17:45:23

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Bonjour.
@wiwaxia.  Tu as vu que ma formule fournissait le cosinus de l'angle à 0.04 °  ? Ceci parmi pratiquement une infinité ce que les tables sont incapables ( je parles au moyen âge bien sur ) .

#27 17-03-2020 22:31:28

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 958

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

yoshi a écrit :

Bonjour,

@Wiwaxia
C'est un adepte de la théorie des complots.
Tu perd ton temps : il n'est pire sourd que celui qui ne veut pas entendre !...
Sa réponse pourrait être : toutes tes références aboutissent à des textes apocryphes, écrits pour camoufler le vol de mes formules...

Je pense sérieusement à lui offrir un "Bac à sable", un dossier défouloir, où, en dehors de tout autre dossier, il pourrait s'épancher...
A charge pour moi, de supprimer tout post de sa part écrit en hors dudit "Bac à sable"...

@+

Mon ami,

je crois que le gars est mûr, et moi aussi d'ailleurs.
Organise une vote sur ton idée mais perso, je suis d'accord à 100 %, et pour dans pas longtemps, voire tout de suite ! :-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#28 18-03-2020 08:38:22

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 107

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Dès la fin du 16me siècle la table de Stévin (1548-1620) fournit les valeurs des fonctions trigonométriques avec neuf décimales; on lit par exemple dans le document déjà mentionné:
sin(48°) = 0.743 144 825
alors qu'une calculatrice donne
sin(48°) = 0.743 144 825 477 39 .

En remontant au début du 15me, on trouve la performance d'Al-Kashi qui parvient à déterminer la valeur de Sin(1°) sur 16 chiffres significatifs (du système décimal), et atteint donc une précision  ~ 10-16.
Le texte ne dit pas que la formule donnée se réfère à un rayon égal à 60.

Le programme Pascal ci-dessous reprend l'évaluation donnée en base sexagésimale.

JCsiH3akvkb_Text-Calcul.png

Si l'algorithme t'intéresse ...

 PROGRAM Al_Kashi;

 USES Crt, E_Texte;

 CONST Imax = 9; Base = 60;

 TYPE Tab_B = ARRAY[0..Imax] OF Byte;

 CONST LstE: Tab_B = (01, 02, 49, 43, 11, 14, 44, 16, 26, 17);

 VAR Sin1d: Reel;

 PROCEDURE Aff2(SaK: Reel);
   CONST C1 = 5; L1 = 15; u = 21; v = u - 3;
   VAR Ecart, S1d: Reel;
   BEGIN
     S1d:= Sin(Pi / 180); Ecart:= (SaK - S1d) / S1d;
     E(0015);             Wt(C1, L1, 'Valeur de Sin(1ø) :');
     Wt(C1, L1 + 2, 'R‚sultat de Al-Kashi :      ');
     E(0010);             Write(Sin1d:u:v);
     E(0015);             Wt(C1, L1 + 4, 'Virtual Pascal :            ');
     E(0010);             Write(S1d:u:v);
     E(0015);             Wt(C1, L1 + 6, 'Ecart relatif :             ');
     E(0012);             Write(Ecart:10);
     A_

   END;

 PROCEDURE Aff1(K_: Byte; P_, S_: Reel);
   CONST t = '   '; u = 21; v = u - 3;
   BEGIN
     E(0010); We(1, K_ + 3, K_, 5);
     E(0012); Write(t, P_:u:v);
     E(0014); Write(t, S_:u:v)
   END;

 PROCEDURE Calc_Sin1d(VAR S_1d: Reel);
   VAR k: Byte; f, g, p, s, t: Reel;
   BEGIN
     s:= LstE[0]; f:= 1;
     FOR k:= 1 TO Imax DO
       BEGIN
         g:= f / Base;      f:= g;
         p:= f * LstE[k]; t:= s + p;
         s:= t;           Aff1(k, p, s)
       END;
     S_1d:= s / Base
   END;

 BEGIN
   E(1000); Calc_Sin1d(Sin1d); Aff2(Sin1d)
 END.

Alors je doute de l'intérêt réel de ta trouvaille ...

Ma petite formule de cosinus est magique ... / ... En général il donne 4 chiffres exacts après la virgule à  .0001 près

Peut-être devrais-tu t'intéresser davantage à l'histoire des Mathématiques, et accorder un peu plus de considération à l'héritage médiéval ...
Le code proposé se traduit sans problème dans le langage de la calculatrice (hors les instructions d'affichage, bien sûr).

Dernière modification par Wiwaxia (18-03-2020 09:32:27)

Hors ligne

#29 18-03-2020 09:08:24

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Wiwaxia. J'ai rien compris.....

#30 18-03-2020 09:44:18

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Yoshi.
J'ai été très etonné que tu puisses ( enfin la machine)  me sortir 1200 décimales du cosinus de 0.04 ° car ma calculatrice commence à fournir des erreurs au bout du 15ème chiffre.  Je connais par exemple le développement limité de Taylor mais ce n'est qu'une approximation. Pourrais tu me prouver l'exactitude de tes nombres  ?

#31 18-03-2020 10:42:03

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 958

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Alain Ratomahenin a écrit :

@Yoshi.
J'ai été très etonné que tu puisses ( enfin la machine)  me sortir 1200 décimales du cosinus de 0.04 ° car ma calculatrice commence à fournir des erreurs au bout du 15ème chiffre.  Je connais par exemple le développement limité de Taylor mais ce n'est qu'une approximation. Pourrais tu me prouver l'exactitude de tes nombres  ?

Oula, ce n'est pas parce que ton automate antédiluvien ne sait pas faire que d'autres outils, beaucoup plus récents, n'y arrivent pas !
Là, mon gars, tu prends de sérieux risques de te faire encore baffer. Faudrait que tu songes à arrêter de délirer, perso, je n'en peux plus de tes remarques et autres considérations, je vais cesser de te lire et demande à nouveau à yoshi de bien vouloir te confiner, c'est d'actualité ! :-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#32 18-03-2020 11:18:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Bonjour,


Pas de pb... Il y a un moment que je m'attends à une réaction plus qu'étonnée : demande légitime.

C'est très simple (pas une formule qu'on t'a volée cette fois) : je n'ai, moi, rien inventé (pas assez intelligent et puis, la roue existant  pourquoi la réinventer ?)...
J'ai repris :
https://python.jpvweb.com/python/mesrec … th_decimal
A ce bémol près : lui, il calcule en radians.
Toi tu donnes des angles en degrés.
Il a donc fallu que je convertisse en radians d'abord et donc que je calcule également $\pi$ avec une précision un peu supérieure...

Tiens comme ça,  tu vas pouvoir me demander de justifier encore :

$\phi =\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ =
1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354433389086595939582905638322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269548626296313614438149758701220340805887954454749246185695364864449241044320771344947049565846788509874339442212544877066478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600670874807101317952368942752194843530567830022878569978297783478458782289110976250030269615617002504643382437764861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981017261070596116456299098162905552085247903524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936210767389376455606060592165894667595519004005559089502295309423124823552122124154440064703405657347976639723949499465845788730396230903750339938562102423690251386804145779956981224457471780341731264532
avec sa méthode  qui calcule $\sqrt 5$, tirée de celle Heron d'Alexandrie avec 1200 décimales.

Méthode de calcul de la racine carrée que j'ai récrite, moi, en m'inspirant d'un exercice (TS je crois me souvenir) sur les suites :

$\sqrt 5 =$2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089724541052092563780489941441440837878227496950817615077378350425326772444707386358636012153345270886677817319187916581127664532263985658053576135041753378500342339241406444208643253909725259262722887629951740244068161177590890949849237139072972889848208864154268989409913169357701974867888442508975413295618317692149997742480153043411503595766833251249881517813940800056242085524354223555610630634282023409333198293395974635227120134174961420263590473788550438968706113566004575713995659556695691756457822195250006053923123400500928676487552972205676625366607448585350526233067849463342224231763727702663240768010444331582573350589309813622634319868647194698997018081895242644596203452214119223291259819632581110417049580704812040345599494350685555185557251238864165501026243631257102444961878942468290340447471611545572320173767659046091852957560357798439805415538077906439363972302875606299948221385217734859245351512104634555504070722787242153477875291121212118433178933519103800801111817900459061884624964710424424830888012940681131469595327944789899893169157746079246180750067987712420484738050277360829155991396244891494356068346252906
Nombre d'Itérations : 12
effectuées en : 0.02500128746032715 s

Mon prog :

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8 -*-

from time import time
from decimal import Decimal as D,getcontext
getcontext().prec=1200

def rac(n): # calcul de la racine avec une suite définie par récurrence
    u=D(2)
    u0=D(1)
    i=0
    while not u0==u:  # Tant que les deux dernières approximations ne sont pas égales :
        u0=u
        u=(u**2+D(n))/(u*D(2))
        i+=1 # calcul du nombre d'itérations
    return u,i

debut=time()
radicande = 5 # Donner le nombre dont vous recherchez la racine carrée
u,i=rac(radicande) #je récupère la racine obtenue et le nombre d'itérations après appel de la fonction.
print (u)
print("Nombre d'Itérations :", i)
print("effectuées en :",time()-debut,"s")

La suite en question : $u_{n+1}=\dfrac 1 2\left(u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)$

Tu vois la différence entre un Basic TI et un vrai langage de programmation ?

D'après les sources de Python, le module decimal obtient cette précision en utilisant des fractions continues...
Si le module n'était pas fiable tous les scientifiques qui l'utilisent auraient hurlé depuis longtemps...

@+

[EDIT]
Avec 320 décimales, pour ne pas alourdir trop le post.
$pi$ = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155882

$sin(0.04)$=
0.000698131644087579247878449366002630799931491802565813426352025146202282667555591055366953140453588130072660317271345563751122264756800405437162692219342379288288951575326357759076506789565494254635857682585645951684596669039745797782076564499383378440038179612475032626640007519658537264509974285260

$cos(0.04)=
0.99999975630607406842201972179217812452546428308648264846601837735498862356192166427710395172630531493792602830815137491655814680960672973087259299966796429160876281778907799012368057715409595813745686885899147596913985105618274313763065596930633112723132705619458225514045281079711402036321373267469948348411011631296035

(0.000698131644087579247878449366002630799931491802565813426352025146202282667555591055366953140453588130072660317271345563751122264756800405437162692219342379288288951575326357759076506789565494254635857682585645951684596669039745797782076564499383378440038179612475032626640007519658537264509974285260)²
+
(0.99999975630607406842201972179217812452546428308648264846601837735498862356192166427710395172630531493792602830815137491655814680960672973087259299966796429160876281778907799012368057715409595813745686885899147596913985105618274313763065596930633112723132705619458225514045281079711402036321373267469948348411011631296035)²
=
1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Dernière modification par yoshi (18-03-2020 11:40:26)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#33 18-03-2020 12:01:20

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Yoshi.
En effet ceci se confirme. Peut tu me parler de ces fractions continues  ? Je ne connais pas.

#34 18-03-2020 12:24:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#35 18-03-2020 12:46:11

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 958

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Alain Ratomahenin a écrit :

@Yoshi.
En effet ceci se confirme. Peut tu me parler de ces fractions continues  ? Je ne connais pas.

Pourquoi tu ne commences pas comme ça, demander plus qu’instiller le doute ?
Fin pour moi, basta !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#36 18-03-2020 13:18:06

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Yoshi.
J'ai un doute sur la preuve que tu m'as fournis : il faudrait un NOMBRE INFINI de décimales pour que sin^2 + cos^2 soit exactement égal à 1 . Ton résultat aurait du donner : 0.999999999999999 .... pour que ceci soit crédible. Si ça donne exactement 1 c'est que la dernière décimale est fausse +1 .

#37 18-03-2020 13:25:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Re,

@freddy
Je répète : qu'il doute, ou qu'il demande une preuve, je trouve que c'est sain...
Il a eu sa preuve.
Je l'ai même trouvé "bon prince".
Qu'est-ce qui prouve que ma somme des carrés vaut  1 ? Ma bonne foi ? Va savoir, peut-être l'ai-je roulé dans la farine ?^_^
S'il est prêt à se farcir les deux multiplications(donc les carrés), puis l'addition à la main, je veux bien lui donner cosinus et sinus à 60  décimales...

Il a de quoi méditer sur les capacités mathématiques des matheux du passé...
Qui sait ?
Mettra-t-il peut-être un peu d'eau dans son vin...

@Wiwaxia

Le code proposé se traduit sans problème dans le langage de la calculatrice (hors les instructions d'affichage, bien sûr).

Oh, je te trouve un peu optimiste...
1. Ton code n'est pas documenté
2. Hors affichage, j'étais incapable de le traduire en Python, sans connaître l'algorithme employé
3. J'ai cherché sur google qui ne m'avait rien donné
4. Je viens de remplacer les mots méthode et calcul par algorithme et je tombe sur cet exo :

A. Nombre de solutions d'une équation
Soit f définie sur [-1;1] par $f(x)=-4x^3+3x$.

1. Tracer la courbe représentant f sur une calculatrice.
Conjecturer le sens de variation de f et le nombre de solutions dans l'intervalles  [0;1/2] de l'équation f(x)=a pour 0<a<1
2. Démontrer ces conjectures.

B. L'algorithme d'Al-Kashi pour calculer sin(1°)
1. Le logiciel de calcul format Xcasfr transforme l'expression sin(3t) de la façon suivante: trigexpand(sin(3*t)) -> (4*cos(t)2-1)*sin(t)
    $\sin(3t)=(4\cos^2(t)-1)*\sin(t)$
    En déduire que pour tout réel t, $\sin(3t)=3\sin(t)-4\sin^3(t)$.
2. Le mathématicien Al-Kashi connaissait une valeur approchée très précise de sin(3°) et cherchait une valeur approchée de x=sin(1°).
    a) Justifier que x est la solution de l'équation f(x)=sin(3°) dans l'intervalle [0;1/2].
    b) Montrer que $x=g(x)$ où $g(x)=\dfrac 4 3 x^3+\dfrac 1 3 sin(3°)$.
3. L'algorithme d'Al-Kashi consiste, en termes modernes, à prendre pour première valeur approchée de $x$, $x_1=\dfrac{1}{60}$ puis comme deuxième valeur approchée de $x$, $x_2=g(x_1)$, comme troisième valeur approchée de $x$, $x3=g(x_2)$, etc.
   a) Ecrire un algorithme qui fournisse la valeur approchée obtenue par Al-Kashi au bout de 9 itérations.
   b) En utilisant pour approximation de sin(3°) la valeur suivante connue à l'époque:
       $\dfrac{3}{60}+\dfrac{8}{60^2}+\dfrac{24}{60^3}+\dfrac{33}{60^4}+\dfrac{59}{60^5}+\dfrac{34}{60^6}+\dfrac{28}{60^7}+\dfrac{15}{60^8}$, programmer cet algorithme.
c) Comparer le résultat obtenu avec la valeur de sin(1°) fournie par la calculatrice.

Finalement, je trouve qu'effectivement Python est plus lisible.
Je m'en vais de ce pas l'implémenter maintenant que j'ai ce qu'il faut...
Je posterai mon code...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#38 18-03-2020 15:53:13

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Bonsoir,

Mon code et Résultats (affichage au plus près de celui de Wiwaxia) :


#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8 -*-

from time import time
from decimal import Decimal as D,getcontext
getcontext().prec=22

def sinus1bis(sn):
    Lst_frac=[(3,60),(8,60**2),(24,60**3),(33,60**4),(59,60**5),(34,60**6),(28,60**7),(15,60**8)]
    #Calcul sin(3°)
    u=0
    for n,d in Lst_frac:
        u+=n/d
    print("sin(3°)=",u)
    print()
    x=1/60
    print ("Itération n°         valeur sin 1°                   Ecart")
    for i in range(9):
        x=(4*x**3+u)/3
        a=D(x)
        print ("    ",i+1,"         ","%.18f" %x,"      ","%.18f" %(a-D(sn)))
    return x

#Arrondi sin(1) module decimal de Python à 20 décimales
sn_arr = D("0.01745240643728351281")
sn_ak=D(sinus1(sn_arr))
print()
print ("Dernière valeur calculée :",str(sn_ak)[:20])
print("Avec le module decimal de Python")
print ("Arrondi à 18 dédimales   :",str(sn_arr)[:20])
print("Erreur                   : 3.10^{-16}")

Sortie :

sin(3°)= 0.05233595624294482

Itération n°         valeur sin 1°                   Ecart
     1           0.017451491587154446        -0.000000914850129067
     2           0.017452405322738309        -0.000000001114545204
     3           0.017452406435925941        -0.000000000001357571
     4           0.017452406437282190        -0.000000000000001323
     5           0.017452406437283841        0.000000000000000328
     6           0.017452406437283841        0.000000000000000328
     7           0.017452406437283841        0.000000000000000328
     8           0.017452406437283841        0.000000000000000328
     9           0.017452406437283841        0.000000000000000328

Dernière valeur calculée : 0.017452406437283841
Avec le module decimal de Python
Arrondi à 18 dédimales   : 0.017452406437283512
Erreur                   : 3.10^{-16}

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#39 18-03-2020 16:27:52

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Yoshi.
Tu m'as brièvement parlé de la méthode de Héron pour calculer les racines carrées .  Celle ci fonctionne avec une puissance égale à 2 . Eh bien essaie à la place de mettre une puissance de 0.5 . Tu verras que le résultat donnera x^2 seulement pour la méthode de Héron : ça marche aussi à  l'envers  !!!
Par contre j'ai essayé avec la même méthode généralisée aux racines nième et au delà de la puissance de deux il faut multiplier la formule par 0.5  pour obtenir le nombre élevé à une puissance n-ième.

#40 18-03-2020 16:44:47

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

En fait non la formule donnant la racine n-ième d'un nombre peut aussi élever à une puissance quelconque  2^3.5 par exemple en prenant L'INVERSE de la puissance.

#41 18-03-2020 16:53:34

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

C'est une grande nouvelle : maintenant les calculatrices calculeront les puissances avec la méthode de racine n-ième qui bien sur converge bien plus vite  !!

#42 18-03-2020 19:04:12

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Tu viens de faire une grande découverte (pour nous c'est de la routine)^_^

Tu crois que les calculettes t'ont attendu ? Quelle candeur... mais quelle fraîcheur !
Faut sortir de temps en temps (bon, maintenant, c'est pas autorisé) et t'informer...

Avec la calculette windows (affichage scientifique) tape :
16 xy 0.5 =
Résultat : 4
C'est la racine carrée (puissance $\frac 1 2$)

16 xy 0.25 =
Résultat : 2
C'est la racine 4e. (puissance $\frac 1 4$)

27 xy (1/x) =
Résultat 3
C'est la racine cubique (puissance $\frac 1 3$)
Désolé...

Cette découverte, on ne te l'a pas volée... ^_^ :
la CASIO Collège New de ma fille a 20 ans : elle le fait aussi...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#43 19-03-2020 08:30:30

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

Bonjour.
@Yoshi.
Cher Yoshi je te demande de ne pas t'énerver et surtout de ne pas me bannir mais il faut que je t'avoue quelquechose d'important.  La soi disante méthode de Heron Newton pour calculer les racines n-ième eh bien c'est MOI qui l'ai inventé.  C'était en 1996 que j'envoyais à l'APMEP : calcul de la racine n-ième d'un nombre. Ceux ci m'ont repondu après un certain temps pour me dire que c'était connu et que c'était la méthode de Newton. C'était bien sur complètement faux et il n'y a pas eu de suites pour moi.  C'est en 2015 que je decouvre ma méthode dans wikipédia : l'APMEP me l'avait volé. Heron n'est que ma méthode appliquée au carré et il n'y à  pas en fait de réelle méthode de Newton.
Je me bats pour reconquérir la propriété sur mon travail mais personne ne veut admettre qu'il ont été bernés par l'APMEP.  avouez-le : vous ne saviez pas calculer une racine carrée autrement qu'avec la méthode de division traditionnelle mais pas avec le soi-disant Heron qui n'est qu'une invention de l'APMEP.

#44 19-03-2020 08:59:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

L'eau tiède, le fil à couper le beurre, le fil à couper la polenta, le téléphone, la résolution des équations différentielles, le calcul inbtégral c'est toi aussi ???
Là, tu y as droit,
Un tel déni devient insupportable : c'est de la paranoïa doublée de mégalomanie.

Ras-le bol !
Bon vent,

Cherche-toi ailleurs des gogos !
Même pas de bac à sable, tu deviens dangereux pour la santé mathématique de ceux qui nous lisent.
Ne reviens pas, sauf pour faire amende honorable...

Je supprimerai tes posts un par un si tu reviens pour autre chose !


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#45 21-03-2020 19:03:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : Nouvel algorithme de calcul de cosinus.

@Alain Ratomahenin
Tu avais été dûment prévenu :
tu es revenu et tu as posté.
Ce n'était pas pour faire amende honorable...

En conséquence, j'ai fait ce que j'avais dit :

Ne reviens pas, sauf pour faire amende honorable...

Je supprimerai tes posts un par un si tu reviens pour autre chose !

Donc, hop ! Posts supprimés...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Pied de page des forums