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#1 18-03-2020 21:24:08

72Messo10
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Exo suite/expo

https://www.cjoint.com/c/JCsuuF7tmPA
C'est l'exo numéro 8.
Alors, Bonsoir à tous j'espère que vous allez bien et vos proches aussi, notre prof de math nous as donné cet exoa faire et mis à part la question 1 et les truc sur Python je n'arrive rien à faire si qui quelqu'un pourrait m'aider svp et me donner aussi des indications sur l'expotebtielle (on a pas fais un cours sur ce chap mais seulement des feuilles envoyer par mail).
Je pense qu'il faut a chaque fois utiliser un raisonnement par récurrence mais je n'en suis pas sûr.

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#2 19-03-2020 09:34:19

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Re, une petite actualisation de mon avancer, j'ai réussi à comprendre toutes les questions et à les faire il ne me reste que le calcul de la somme, je ne sais pas si je dois utiliser la formule d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique la raison étant de +1/2^n. D'ailleurs, il me semble que yoshi m'avais donné un exercice très similaire.

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#3 19-03-2020 09:40:32

yoshi
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Re : Exo suite/expo

Bonjour,

Je ne vais pas prétendre te faire un cours : d'ailleurs, tu peux trouver ça sur Internet.
Je peux te donner de quoi te mettre le pied à l'étrier.

Les fonctions exponentielles et logarithmes sont étudiées en Ts dans le même chapitre et on commence par les logarithmes.
On commence par les log...
Le logarithme népérien (dû à lord Neper) notée $\ln$ est la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ dont la dérivée est $\dfrac 1 x$  et qui vaut 0 en 1.
$\ln(1)=0$
$\ln'(x)=\dfrac 1 x$
On peut aussi dire  que $]1\,;\,+\infty[$ est l'aire située en dessous de la courbe représentative de f telle que $f(x)=\dfrac 1 x$ au dessus de l'axe des x, à droite de la droite d'équation  x=1 :
Pour x>0,\;\ln(x) >0$
Pour $0< x<1\; \ln(x) <0$

Avec Python, on peut montrer par des calculs approchés que cette aire vaut 1 pour 2,71<x<2,72
Plus "précisément", pour $x =2.718281828459045...$
Ce nombre transcendant, a une partie décimale de longueur infinie...
Il est baptisé e comme exponentielle...
Tu as donc : $\ln(e)=1$

Est-ce que ça te suffit ?

@+

[EDIT]

$S=\sum\limits_{i=1}^n\,\dfrac{1}{2^i}=\dfrac 1 2+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}$
On peut écrire
$S=\left(1+\dfrac 1 2+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)-1$
Et dans ta parenthèse, tu vois la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison $\dfrac 1 2$

N-B
On peut le faire sans ajouter et retrancher 1, en factorisant par $\dfrac 1 2$, mais dans ta parenthèse, tu n'as plus alors que n-1 termes.
Moi, je trouve moins perturbant d'ajouter et retrancher 1.

Dernière modification par yoshi (19-03-2020 09:52:06)


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#4 19-03-2020 10:34:35

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Merci yoshi j'ai compris, est ce que la fonction logarithme est l'inverse de l'expotentielle.

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#5 19-03-2020 10:56:13

yoshi
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Re : Exo suite/expo

Ave,

Oui et non...

Le terme exact est réciproque.
Si tu composes les deux fonctions, t obtiens la fonction identité :
$\ln(e^x)=x$  et  $e^{\ln(x)}=x$.
Il y a aussi le logarithme à base 10 noté $\log_{10}(x)$ : $log_{10}(10)=1$
Je l'utilise parfois en Python pour connaitre la longueur d'un nombre :

from math import log

a= 6981316440875792478784493660026307999314918025658134263520251462022826675555910553669531404535881300726603172713455637511222647568004054371626922193423792882889515753263
print (int(log(a,10))-1)
 

Me renvoie 168...
Tous les log ont les mêmes propriétés
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
$\ln\left(\frac a b\right)=\ln(a)-\ln(b)$
$\ln(x^n)=n\ln(x)$

"Jouer" avec  le log  permet de résoudre simplement, par ex ce problème concret :
je place 1000 € à un taux  annuel de 0,75 %, dans combien de temps, mon capital dépassera-t-il les 1100 € ?
J'appelle n ce nombre d'années.
Dans n années mon capital sera $1000\times 1.075^n$
Je veux connaître n tel que $1000\times 1.075^n\geqslant 1100$
ou encore :
$10\times 1.0075^n\geqslant 11$
La fonction logarithme est une fonction croissante, donc :
$\ln(10\times 1.0075^n\geqslant 11$
$\iff$
$\ln(10)+\ln(1.0075^n)\geqslant \ln(11)$
$\iff$
$\ln(10)+n\ln(1.0075)\geqslant \ln(11)$
$\iff$
$n\ln(1.0075)\geqslant \ln(11)-ln(10)$
$\iff$
$n\ln(1.0075)\geqslant \ln\left(\frac{11}{10}\right)$
$\iff$
$n\ln(1.0075)\geqslant \ln(1.1)$
$\iff$
$n\geqslant \frac{\ln(1.1)}{\ln(0.0075)}$
Soit n>= 12,75..
La réponse est 13 ans...

J'ai importé le log : en Python log népérien $\ln(x)$ est log(x) tout court.
Le log en base b, c'est log(x,b)
J'ai tapé en Python :
print (log(1.1)/log(1.0075) qui m'a renvoyé 12.755619717277458

Je vérifie : $1000\times 1.0075^{13}\approx 1102,01$

@+


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#6 19-03-2020 12:24:06

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Merci pour tes explications je viens de me rendre compte que j'ai fais faux au 2 questions pythons, argument 10 sa veut dire quoi ? Et la fct python sert bien à appliquer la suite de Léa pour n'importe quel n ?

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#7 19-03-2020 13:58:40

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Je viens de me rendre compte d'un truc comment un+1 peut être supérieur à Un si la raison de cette suite géométrique est 1/2 ?

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#8 19-03-2020 15:02:20

yoshi
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Re : Exo suite/expo

L'argument  n, que tu passes  ta fonction n sera utilisé pour définir le nombre de tours de boucle for.

En lui passant n=10
la fonction deviendra
u=1
for k in range(1,11):
    u=u*(1+1/2**k)

et tu dois obtenir
pour n=10
u=2.3819041934248877
Ci-dessous, pas demandé :
pour n=100 :
u=2.3842310290313713

pour n=1000
u=2.3842310290313713

pour n =10000
u=2.3842310290313713

Ne pas croire que ça n'augmente plus, c'est simplement que Python n'utilise pas de chiffres décimaux.
On peut remédier à ça avec le module decimal.
Avec 100 chiffres décimaux, voilà
fon(10)
2.3819041934248878777946600848736125044524669647216796875
fon(100)
2.384231029031371724149899288676516412123801804132484270896310681374167893042393983304037126578829988
fon(1000)
2.384231029031371724149899288678397238771619516508433457692101507989181293036037255186535210365680510

@+

[EDIT]
Parce que tu dois penser à traduire Python en formule mathématique :
Formule en Python
u=u*(1+1/2**i)
La même en maths :
$u_{n+1}=\left(1+\frac{1}{2^n}\right)u_n$

Pigé ?

Dernière modification par yoshi (19-03-2020 15:10:58)


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#9 19-03-2020 15:20:34

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Donc q=(1+1/2^n), la fonction Python permet de calculer u pour n'importe quel n donc n'importe quel nombre de tour. Est ce bien cela ?

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#10 19-03-2020 19:15:55

yoshi
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Re : Exo suite/expo

la fonction Python permet de calculer u pour n'importe quel n, donc n'importe quel nombre de tour. Est ce bien cela ?

Oui, et plus précisément la valeur de $u_{n+1}$ quel que soit n>=1


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#11 20-03-2020 11:10:13

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Merci, par contre notre prof viens de nous dire que pour la 5b on a pas le droit à la récurrence mais que c'est démontrable en 3 lignes grâce à des égalité si vous auriez une idée svp.

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#12 20-03-2020 12:40:55

freddy
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Re : Exo suite/expo

Salut,

sais-tu écrire autrement $\exp^a\times \exp^b$ ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#13 20-03-2020 12:47:15

yoshi
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Re : Exo suite/expo

Salut,

1. Rectification
    La fonction Python calcule $u_n$, pas $u_{n+1}$ comme je l'avais dit
    On commence par poser u=1 et la boucle commence à 1, donc u =1, mathématiquement c'est $u_0=1$
    Et  donc lorsque k = 1, on calcule u=1*(1+1/2^1), ce 1er u calculé correspond donc à $u_1$
    Donc la fonction pour k=1, 2, 3... n donne les valeurs de $u_1,\;u_2,,\;u_3\cdots u_n$


2. Je vais essayer de t'expliquer 5b)
3 lignes ??? C'est gonflé comme affirmation...


Ça va être long parce que j'ai l'intention de tout expliquer justifier pas à pas...
Sur une copie, ça prendrait moins de place, mais plus que 3 !
Allons-y...
$u_n=\left(1+\frac 1 2\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$
Dans la question 5a) on t'a demandé de montrer que  $\forall x \in\mathbb R,\; 1+x\leqslant e^x$ (tu l'as fait comment ?)
Je peux donc dire que
$1+\frac 1 2\leqslant e^{\frac 1 2}$
$1+\frac{1}{2^2}\leqslant e^{\frac{1}{2^2}}$
$1+\frac{1}{2^3}\leqslant e^{\frac{1}{2^3}}$
.....................
$1+\frac{1}{2^3}\leqslant e^{\frac{1}{2^n}}$

Je t'ai donné cette propriété du log
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
mais tu peux l'étendre :
$\ln(a_1a_2a_3\cdots a_n)=\ln(a_1)+\ln(a_2)+\ln(a_3)+\cdots\ln(a_n)$

Je pense que tu ne vous encore pas où je veux en venir.
Je vais prendre : $\ln(u_n)$
$\ln(u_n)=\ln \left(1+\frac{1}{2}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{2^2}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{2^3}\right)+\cdots+\ln \left(1+\frac{1}{2^n}\right)$

Puisque le log est une fonction croissante si $x <=y$ alors $\ln(x)\leqslant \ln(y)$
Donc comme $1+\frac{1}{2^i}\leqslant e^{\frac{1}{2^i}}$
alors
$\ln \left(1+\frac{1}{2^i}\right) \leqslant \ln \left(e^{\frac{1}{2^i}}\right)$

Mais je t'ai aussi dit que $e^{\ln(x)}=x$
donc $\ln \left(e^{\frac{1}{2^i}}\right)=\frac{1}{2^i}$
donc :
$\ln \left(1+\frac{1}{2^i}\right) \leqslant e^{\frac{1}{2^i}}$
Et donc $\ln(u_n)\leqslant \cdots$
Es-tu capable de compléter ?

Et pour finir tu devras repenser que $e^{\ln(x)}=x$

Même pour un TS lambda sans être guidé c'est déjà coton, alors pour 1ere même en classe spéciale...

@+

Dernière modification par yoshi (20-03-2020 14:48:49)


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#14 20-03-2020 14:58:05

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Merci yoshi j'ai pensé à sa mais en multipliant chaque ligne entre elles et en me servant de la propriété exp(à) *exp(b) = exp(a+b)

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#15 20-03-2020 15:11:26

yoshi
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Re : Exo suite/expo

Re,

En partant de ça alors, $u_n \leqslant e^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}}$, en utilisant l'exponentielle (suggestion de freddy. Rendons à Cesar ce qui appartient à Cesar).
Oui, c'est jouable...
Je ne sais pas comment penses ton Prof...
Simplement, moi, quand j'ai appris les Maths, cette possibilité était exclue : j'étais dans l'obligation de partir de la définition de $u_n$  et du 5a) pour finir par arriver à l'exponentielle et pas l'inverse...

@+


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#16 20-03-2020 15:17:46

freddy
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Re : Exo suite/expo

yoshi a écrit :

Re,

En partant de ça, alors $u_n \leqslant e^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}}$, en utilisant l'exponentielle (suggestion de freddy. Rendons à Cesar ce qui appartient à Cesar).
Oui, c'est jouable...
Je ne sais pas comment penses ton Prof...
Simplement, moi, quand j'ai appris les Maths, cette possibilité était exclue : j'étais dans l'obligation de partir de la définition de $u_n$ pour et du 5a) pour finir par arriver à l'exponentielle et pas l'inverse...

@+

Merci M'sieur :-)
Je suis confiné (non, pas un con en cours d'affinage !), je dois faire très attention à moi (suis vulnérable, on sait pourquoi ;-))donc j'ai un tout petit peu de temps pour moi et le sujet de notre ami est sympa (niveau : une bonne classe TC d'il y a longtemps).
Après, oui, tu as 100 fois raisons, on ne sait jamais ce qu'un prof attend de ses élèves.

Dernière modification par freddy (20-03-2020 15:38:33)


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#17 20-03-2020 15:26:41

yoshi
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Re : Exo suite/expo

@freddy
De rien..
Le J' de j'ai pensé m'avait un peu chatouillé...
TA méthode doit être plus courte que la mienne mais, 3 lignes, l'affirmation péremptoire du prof me paraît osée quand même

[Mode Hors Sujet On]
Bon, tu as pu constater que j'ai fini par envoyer notre "plus grand mathématicien du monde" voir ailleurs : l'herbe y sera - pour un temps (ça finit toujours mal...) - plus verte qu'ici...
Mon sang n'a fait qu'un tour quand j'ai découvert sa nouvelle revendication de paternité de découverte.
J'étais donc naïf en pensant qu'il s'amendait, tu étais dans le vrai : du coup, même pas droit au "bac à sable"...
Tape donc son nom dans ton moteur de recherches favori, et tu verras le nombre d'inventions dont il a pu déclarer avoir été spolié : hallucinant ! Là, Heron d'Alexandrie, c'était trop...
[Mode Hors Sujet Off]


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#18 20-03-2020 15:45:25

freddy
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Re : Exo suite/expo

yoshi a écrit :


[Mode Hors Sujet On]
Bon, tu as pu constater que j'ai fini par envoyer notre "plus grand mathématicien du monde" voir ailleurs : l'herbe y sera - pour un temps (ça finit toujours mal...) - plus verte qu'ici...
Mon sang n'a fait qu'un tour quand j'ai découvert sa nouvelle revendication de paternité de découverte.
J'étais donc naïf en pensant qu'il s'amendait, tu étais dans le vrai : du coup, même pas droit au "bac à sable"...
Tape donc son nom dans ton moteur de recherches favori, et tu verras le nombre d'inventions dont il a pu déclarer avoir été spolié : hallucinant ! Là, Heron d'Alexandrie, c'était trop...
[Mode Hors Sujet Off]

Ouf, n'a pas fumé que la moquette, le gars, c'est un grand champignon du monde !!! :-)


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#19 20-03-2020 15:47:37

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Je crois que vous avez pas compris ma méthode, je voulais dire faire votre méthode mais aulieu d'utiliser le logarithme, on multiplie les lignes entre elle puis on utilise la propriété de Freedy.

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#20 20-03-2020 16:13:46

yoshi
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Re : Exo suite/expo

Ah, Ok !
Non, je n'avais pas compris : tes explications étaient trop elliptiqsues pour moi...

Bin, ça ne m'avait pas traversé l'esprit (ça ne m'étonne pas, j'ai toujours des difficultés à être simple du 1er coup : en Term, personne n'osait me piquer mes solutions : c'eut été se dénoncer).
Donc tu veux dire ça :
$1+\frac 1 2\leqslant e^{\frac 1 2}$  (--> Tu devras penser à justifier, hein !)
$1+\frac{1}{2^2}\leqslant e^{\frac{1}{2^2}}$
$1+\frac{1}{2^3}\leqslant e^{\frac{1}{2^3}}$
.....................
$1+\frac{1}{2^3}\leqslant e^{\frac{1}{2^n}}$
Et là, tu multiplie chaque colonne, ligne à ligne :
$\left(1+\frac 1 2\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\leqslant  e^{\frac 1  2}\times e^{\frac{1}{2^2}}\times\cdots e^{\frac{1}{2^n}}$
qui devient :
$u_n\leqslant  e^{\left(\frac 1  2+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}$
Clap ! Clap ! Clap !.. Standing ovation...

Cela dit, moi, je ne vois pas une suite d'égalités, mais d'inégalités


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#21 20-03-2020 16:54:22

72Messo10
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Re : Exo suite/expo

Désolé, défaut de language, mais quand le prof nous as interdit le raisonnement par récurrence et mtn le logarithme, j'ai un peu vu flou et ducoup j'ai juste commencé ta méthode et j'ai commencé à essayer de diviser, soustraire etc.. Et ensuite quand j'ai multiplie je me suis rendu compte que sa marchait.

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