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#1 16-03-2020 12:13:58

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 119

edp et passage à la limite

Bonjour

On considère l'équation

\begin{equation}
\partial_t u(t,x)+ v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= \kappa \Delta u(t,x) + F(t,x,u(t,x)) \ \mbox{ dans } \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.......(1)
\end{equation}
avec la condition initiale
\begin{equation}
u(0,x)= u_0(x) \ \mbox{dans } \mathbb{R}^d,.....(2)
\end{equation}

où $v(t,x)$ est un vecteur de fonctions donné, et $F$ une fonction donnée, et $\kappa$ est une constante strictement positive.

On note $u^{[\kappa]}(t,x)$ la solution de l'équation (1).

On considère aussi l'équation de transport

\begin{equation}
\partial_t u(t,x) + v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= F(t,x,u(t,x)) \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.....(3)
\end{equation}

qui correspond à l'équation (1) dans le cas $\kappa=0$.

On note $u^{[0]}(t,x)$ la solution de l'équation (3).

L'objectif est de montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0.

Pour ça, on commence par définir deux familles de solutions: on pose $\delta_n= \dfrac{1}{2^n}, \ n=1,2$ et on introduit la discrétisation en temps $t:$
$$
0=t_0^{[n]} < t_1^{[n]}< \ldots < t_{k-1}^{[n]} < t^{[n]}_k < ..., \ t^{[n]}_k = k \delta_n.
$$

Pour chaque $\kappa > 0$ et pour chaque $n$, on définit la fonction
\begin{equation}
\Theta_n{[\kappa]}(x)= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}}
\exp(-\dfrac{|x|^2}{4 \delta_n \kappa}), \ x \in \mathbb{R}^d,.....(4)
\end{equation}


\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t_0^{[n]},x)=u_0(x),......(5)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x)= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \Theta^{[\kappa]}_n(y) u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x-\delta_n v(t^{[n]}_k,x)+y) dy + \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_{k-1},x)), \ k=1,2,...(6)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]} (t,x)= \dfrac{t_k^{[n]}-t}{\delta_n} u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.......(7)
\end{equation}

\textbf{On a montré que $u^{[\kappa,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[\kappa]}(t,x)$ de (1).}

\bigskip

Puis, on a définit une famille de solutions approximatives pour (3):

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_0,x)= u_0(x),......(8)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_k,x)=u^{[0,n]}(t^{[n]}_{k-1},x\delta_n v(t^{[n]}_k,x))
+ \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[0,n]}(t^{[n]},x)), \ k=1,2,...(9)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t,x)= \dfrac{t^{[n]}_k - t}{\delta_n} u^{[0,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[0,n]}(t^[n]_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.....(10)
\end{equation}


On remarque que (9) est la limite naturelle de (6).

\textbf{On a montré que $u^{[0,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[0]}(t,x)$ de (3).}

\bigskip

La question est: comment montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0? S'il vous plaît.

Merci d'avance.

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