Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 05-03-2020 08:03:49

maximeneko
Membre
Inscription : 05-03-2020
Messages : 3

un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

bonjour à tous.
je suis graphiste et je fais un peu de programmation. je viens vous demander votre aide.
j'aurais besoin de trouver les coordonnées de deux points (a et b) en fonction de la tangente commune de deux cercles et de leur distance.
d'avance merci
coordonnees inconnues

Hors ligne

#2 05-03-2020 17:28:51

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 997

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

salut ,

Sauf erreur ça devrait donner un truc dans le genre :
t étant l'angle de la tangente (ab) avec l'axe Ox 
r & R  sont les rayons respectifs des petit et grand cercle .       

[tex]ab = \sqrt{AB^2 - (R - r)^2}[/tex]

[tex]X_a = R.\sin{t} = \frac{R.(R-r)}{AB}[/tex]

[tex]Y_a = R.\cos{t} = R.\sqrt{1 - \frac{(R-r)^2}{AB^2}}[/tex]   

[tex]X_b  = AB + r.\sin{t} = AB + \frac{r.(R-r)}{AB}[/tex]   

[tex]Y_b = r.\cos{t} = r.\sqrt{1 - \frac{(R - r)^2}{AB^2}} [/tex]

Dernière modification par jpp (05-03-2020 18:36:08)

Hors ligne

#3 05-03-2020 18:21:44

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

Bonsoir,

Schéma de construction ici :
Les résultats des calculs suivront (enfin, j'espère) en utilisant exclusivement R, r, d (= distance des centres).
https://www.cjoint.com/c/JCfsq02WVzW
C est l'intersection de (AB) avec (OO1)
D est le milieu de (O1C) et le centre du cercle rouge qui coupe le cercle de centre O1 en E, le premier point cherché
Formules demain...
Ce soir, trop dangereux : trop de risques d'erreurs de calcul littéral.

J'ai l'équation des cercles de centre M et O1...
Elles sont justes.
Reste plus qu'à trouver l'abscisse du point d'intersection E, puis celle du point de tangence de (CE) avec le cercle (O)
J'ai commencé le calcul, j'ai bien une seule abscisse...
Pas le courage de continuer ce soir...

@+

[EDIT]
Après vérification des résultats que j'obtiens pour le E de mon dessin avec la formule de jpp : ça colle...
Aucune importance, je continuerai demain quand même, je n'aime pas laisser un travail inachevé.

Chapeau jpp.


Si le demandeur le souhaitait, je pourrais lui fournir un petit script Python demandant R,r, d (=AB) et donnant les résultats avec arrondi à la précision souhaitée.

Dernière modification par yoshi (05-03-2020 20:41:36)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 06-03-2020 10:05:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

Bonjour,

jpp a écrit :

Sauf erreur ça devrait donner un truc dans le genre :

Trop modeste le jpp.
Ce qu'il a fait est parfait.
Pour l'édification de tous, en voici la une démonstration.
Soit le problème résolu :
200306110600346731.png
Soit $\alpha=\widehat{ACO}$
Je construis (BD)// (OC)

Par construction, $\widehat{ABD}=\widehat{ACO}=\alpha$ comme angles correspondants.
[AH] est la hauteur du triangle OAC rectangle en A.
[BH'] est la hauteur du triangle O'BC rectangle en B.

$\widehat{OAH}=\widehat{ABD}=\alpha$ Puisqu'ils ont le même complément l'angle $\hat O$ (ou encore angles à côté perpendiculaires).
Idem pour $\widehat{O'BH'}=\alpha$
ODBO' est un parallélogramme : (OD) // (O'B) et OD =O'D

Donc $DB = OO'=d$ et  $AD = R-r$

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABD :
$BD^2=DA^2+AB^2$ d'où $d^2=(R-r)^2+AB^2$
D'où $AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$

Dans le triangle rectangle AOH :
$x_A=OH$
$\sin \alpha=\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{x_A}{R}$ d'où  $x_A=R\sin \alpha$   ;    $\cos \alpha =\dfrac{AH}{OA}=\dfrac{y_A}{R}$ d'où $y_A=R\cos \alpha $

On va chercher la valeur de $\sin \alpha$ et $\cos \alpha$ dans le triangle rectangle AOB :
$\sin \alpha = \dfrac{AD}{DB}= \dfrac{R-r}{d}$

$\cos \alpha= \dfrac{AB}{DB}= \dfrac{\sqrt{d^2-(R-r)^2}}{d}=\sqrt{\dfrac{d^2-(R-r)^2}{d^2}}=\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

Coordonnées de A :

$\left(\dfrac{R(R-r)}{d}\,;\,R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\right)$

----------------------------------------------------

$x_B=OH'=OO'+O'H'$
$y_B=BH'$
Calcul de OH' et BH' dans le triangle O'BH' rectangle en O.
$O'H'=r\sin\alpha =  \dfrac{r(R-r)}{d}$  d'où   $x_B = d+\dfrac{r(R-r)}{d}$

$BH'=r\cos\alpha = r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

Coordonnées de B

$\left(d+\dfrac{r(R-r)}{d}\,;\,r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\right)$

Mes formules sont justes mais comme souvent trop compliquées.
JPP remporte la palme d'or avec ces formules...

Maintenant, à mes moments perdus, je vais rechercher d'autres méthodes en partant du point C dont les coordonnées sont :
$\left(\dfrac{dR}{R-r}\,;\, 0\right)$

@+

Dernière modification par yoshi (06-03-2020 10:07:52)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#5 06-03-2020 12:49:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 435

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

Bonjour,

J'ai trouvé une démo(plus courte ? Pas sûr, mais aussi simple) avec les relations métriques dans le triangle rectangle, sans trigo.
J'appelle E et F les points des cercles de mêmes abscisses que O et O'.
Coordonnées
$E(0\,;\,R)$   et    $F(d\,;\,r)$
Le coefficient directeur de la droite (EF) est : $-\dfrac{R-r}{d}$, son ordonnée à l'origine est R.
L'équation de cette droite est donc
$y=-\dfrac{R-r}{d}x+R$
L'ordonnée du pont C étant 0, il vient $-\dfrac{R-r}{d}x+R=0\;\iff\;x=\dfrac{dR}{R-r}$ 

D'où $OC =\dfrac{dR}{R-r}$  et  $O'C= \dfrac{dR}{R-r}-d=\dfrac {dR-dR+dr}{R-r}=\dfrac{dr}{R -r}$


Je considère le tr. OAC et sa hauteur [AH]
$x_A=OH$
On a
$OA^2=OH.OC$ soit  $OH = \dfrac{OA^2}{OC}=\dfrac{R^2}{\dfrac{dR}{R-r}}= \dfrac{R^2(R-r)}{dR}=\dfrac{R(R-r)}{d}$

Quant à l'ordonnée $y_A=AH$, je fais appel au théorème de Pythagore dans le triangle OAH rectangle en H
$OA^2=OH^2+AH^2$ d'où il vient $AH^2=R^2-\left(\dfrac{R(R-r)}{d}\right)^2=R^2-\dfrac{R^2(R-r)^2}{d^2}=R^2\left(1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}\right)$

Et $y_A=R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

On retrouve les coordonnées données par JPP.

Pour celles de B, je vais considérer l'homothétie de centre C et de rapport $k =\dfrac R r$ qui transforme le triangle BO'H' en le triangle AOH :
$O'H'=\dfrac{OH}{k}=\dfrac{\dfrac{R(R-r)}{d}}{\dfrac R r}=\dfrac{r(R-r)}{d}$

D'où $x_B=d+O'H'=d+\dfrac{r(R-r)}{d}$

Pour $y_B$ :
$y_B=\dfrac{y_A}{k}=y_A\times \dfrac 1 k = R\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}\times \dfrac r R =  r\sqrt{1-\dfrac{(R-r)^2}{d^2}}$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#6 16-03-2020 02:20:44

maximeneko
Membre
Inscription : 05-03-2020
Messages : 3

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

bonjour, je tiens à m'excuser le plus humblement du monde: j'ai posté ce topic sur un autre site. la réponse étant arrivée sur un autre forum, je me suis concentrée sur celle-ci. en effet, j'ai l'habitude avec certains sites de programmations et de developpement (autodesk) de n'avoir que peu de réponse, si ce n'est aucune. alors, j'ai cru bon de multiplier les topics. je vous demande encore une fois pardon et merci pour vos efforts.
cordialement maxime

Hors ligne

#7 16-03-2020 06:05:04

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 958

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

maximeneko a écrit :

bonjour, je tiens à m'excuser le plus humblement du monde: j'ai posté ce topic sur un autre site. la réponse étant arrivée sur un autre forum, je me suis concentrée sur celle-ci. en effet, j'ai l'habitude avec certains sites de programmations et de developpement (autodesk) de n'avoir que peu de réponse, si ce n'est aucune. alors, j'ai cru bon de multiplier les topics. je vous demande encore une fois pardon et merci pour vos efforts.
cordialement maxime

Salut,

C’est bien, mais les réponses détaillées faites ici te vont elles ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#8 16-03-2020 10:23:20

maximeneko
Membre
Inscription : 05-03-2020
Messages : 3

Re : un plan, 2 cercles, une distance, une tangente et deux coordonnées

oui tout a fait. elles corroborent les autres. j'ai pu les mettre en applications. merci

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quarantedeux plus quarantedeux
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums