Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mati

Membre

Inscription : 16-05-2018

Messages : 133

équations Stochastiques

Bonjour,
l'objectif est de démontrer de la convergence uniforme dans $ [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d $ de $ u^{[\kappa]}( t, x) $ vers $ u^{[0]} ( t, x) $ pour $ \kappa \to 0 $, où $ u^{[\kappa]} ( t, x) $ et $ u^{[0]} ( t, x) $ sont respectivement la solution de l'équation
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d ....(1)
\end{equation}
et
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) =
F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d....(2) 
\end{equation}
avec la donnée initiale
\begin{equation}
u(0, x ) = \varphi (x ) ...(3)
\end{equation}
tandis que $ \tau $ est un nombre réel strictement positif  arbitraire. C'est-à-dire, on doit démontrer que
\begin{equation}
\sup_{ ( t, x) \in [0 , \tau ] \times \mathbb{R}^d }
| u^{[\kappa]} ( t, x) - u^{[0]} ( t, x) | \to 0 \qquad
\mbox{pour} \ \ \kappa \to 0 ....(4)
\end{equation}

Je pense que l'idée des processus stochastiques correspondants sera utile. Mais, pour utiliser les équations stochastiques, il faut effacer le terme non linéaire $ F ( t, x, u (t , x) ) $ dans (1) (et donc aussi dans (2). Il s'agira alors de l'\'equation
\begin{equation}
d \xi = - v ( r , \xi ) dr + \kappa d W (r) , \qquad
\xi ( s) = x , \qquad s \leq r \leq T , ...(5)
\end{equation}
et de la valeur moyenne (espérance mathématique) $ \mathbb{E} u (T , \xi (T) ) $ de $ u (T , \xi (T) ) $, où $u$ est une fonction suffisamment régulière. On suppose 
\begin{equation}
u ( T , x ) = \varphi ( x ) . ...(6)
\end{equation}
Si on pose
\begin{equation}
u (t , x ) = \mathbb{E} u (T, \xi (T) ) = \mathbb{E} \varphi
( \xi (T) ) , \qquad t = T - s ,.....(7)
\end{equation}
alors $ u (t , x ) $ satisfait à l'équation (1) et à la condition initiale (3). Cette technique est bien connue et se trouve dans beaucoup de manuels d'équations stochastiques. Alors si $ \kappa $ tend vers 0, alors on peut imaginer que la solution $ \xi $ de l'équation (5) tend vers la solution de l'équation différentielle ordinaire
\begin{equation}
\frac{d}{dr} \overline{\xi} (r) = - v ( r , \overline{\xi} (r) ), \qquad
\overline{\xi} ( s) = x , \qquad s \leq r \leq T . ....(8)
\end{equation}

La convegence de $ \xi $ vers $ \overline{\xi} $ sera, probablement, exprimée par une relation
\begin{equation}
\mathbb{P} ( \{ | \xi (T) - \overline{\xi} (T) | \leq \varepsilon \} )
\to 1 \qquad \mbox{pour} \ \ \kappa \to 0  , .....(9)
\end{equation}
ou bien
\begin{equation}
\mathbb{E} \big[ | \xi (T) - \overline{\xi} (T) |^2 \big] \to 0 \qquad
\mbox{pour} \ \ \kappa \to 0 , ......(10)
\end{equation}
ou bien une autre relation similaire. On peut espérer que la relation de nos équations (1) et (2), relation correspondante à (9) ou (10) ou une autre forme similaire, nous permettra de démontrer (4). Pour ce faire, il nous faut traduire la relation (9)ou (10) dans le langage de nos équations déterministes et la transformer en une forme applicable à notre problème.

Ma question est: comment traduire (9) et (10) afin d'arriver à répondre à la question initiale?

Merci d'avance pour votre aide.