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#1 13-12-2007 13:57:00

redred01
Membre
Inscription : 02-12-2007
Messages : 5

i=0(nombre complexe)

bonjour,bon j aimerais bien avoir votre avis sur ceci
exp(2*i*pi)=1 <=> log(exp(2*i*pi)=log1   telque i:complexe
                     <=>2*i*pi=0
                     <=>i=0 ce qui contradictoire car i²=-1 (0=-1 absurde)
quesque vous en dites ??


la realité nest qu un paravant mis devant nos yeux par les matrices

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#2 13-12-2007 14:35:58

Barbichu
Invité

Re : i=0(nombre complexe)

Enfer et damnation ! (et bonjour)
Attention malheureux ! Le logarithme complexe n'est pas une fonction qui se manipule à la légère.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
De plus il n'est pas injectif !

Pour ne pas prendre de risques, autant ne pas passer par le log complexe :
On sait que
[tex]e^a = e^b\; \Leftrightarrow\; a = b\; (mod\, 2i\pi) [/tex]
Ce qui donne dans ton cas :
[tex]e^{2i\pi} = 1\; \Leftrightarrow\; 2i\pi = 0\; (mod\, 2i\pi) [/tex]
ce qui est parfaitement cohérent

On voit donc ici l'imprécision que tu as commise en considérant que le logarithme complexe était (trop) naturellement défini !
++

#3 13-12-2007 14:37:28

Barbichu
Invité

Re : i=0(nombre complexe)

oups, il fallait lire :
"De plus, l'exponentielle complexe n'est pas injective"

#4 14-12-2007 09:52:04

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 97

Re : i=0(nombre complexe)

Barbichu a tout à fait raison.
Dans le domaine des complexes, ln(1)=2.k.pi.i  ( et non pas ln(1)=0 qui "oublirait" une infinité de déterminations).
Dans le domaine des réels, cela se réduit à la la valeur particulière k=0, soit : ln(1)=0.

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#5 17-12-2007 16:01:53

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : i=0(nombre complexe)

Hello, finalement j'en rajoute une dernière petite couche pour la route.
Ce n'est pas tout à fait exact JJ, en fait on pourrait très bien choisir la détermination principale du logarithme sur [tex]\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- [/tex] (notée log dans la suite) et l'utiliser pour répondre à la question.
(Je précise que cette détermination coincide avec le log classique sur [tex]\mathbb{R}_+^*[/tex])

Ce qui n'est alors plus vrai c'est [tex]\log(e^a) = a[/tex] !!
Par contre si [tex]\mathrm{Im}(a) \in ]-\pi,\pi[[/tex] alors, [tex]\log(e^a) = a[/tex].
Et plus généralement si [tex]\mathrm{Im}(a)\, \notin\, \pi + 2\pi\mathbb{Z}[/tex] alors [tex]\log(e^a) = b[/tex] avec [tex]b\, \in\, a + 2i\pi\mathbb{Z}[/tex] et [tex]\mathrm{Im}(b) \in ]-\pi,\pi[[/tex] ( b est ainsi défini de manière unique ).

En appliquant ceci, on a : [tex]\log(e^{2i\pi}) = b[/tex] avec  [tex]b \in 2i\pi + 2i\pi\mathbb{Z}[/tex] et [tex]\mathrm{Im}(b) \in ]-\pi,\pi[[/tex], ce qui donne [tex]b = 0[/tex]
Ainsi  [tex]\log(e^{2i\pi}) = 0 = \log(1)[/tex] et on a pas de contradiction

Quoi qu'il en soit, quand on ne sait pas ce qu'est le log complexe, il vaut mieux penser qu'il n'existe pas.
bye bye

Dernière modification par Barbichu (17-12-2007 16:04:52)


Barbichu

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