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#26 17-01-2020 19:32:57

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Voilà !
Donc, ça c'est la voie directe, la voie royale...
Donc
Ça fait une démo.
On revient à nos diagonales, et on oublie les 4 côtés égaux...
Comment faire autrement et plus court que ça ?
Pas de secret, il faut retourner à l'énoncé et le relire pour vérifier comment je t'ai demandé de placer les points A et C d'une part, B et D d'autre part.
Il n'y a aucun calcul à faire : lecture, observation, conclusion


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#27 17-01-2020 20:30:10

yannD
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Re : Démonstration Losange

A(2;0) ; C(6;0) -> même ordonnée d'équation y=0
B(4;a) : D(4;-a) - >  donc ces deux points ont même abscisse

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#28 17-01-2020 20:42:10

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Bon,

tu es dans un repère orthonormé...
Que penses-tu de la droite (BD) ?
De la droite (AC) ?
Conclusion  pour (AC) et (BD) ?


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#29 23-01-2020 19:02:03

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir Yoshi, désolé de ne pas avoir répondu avant, et hier j'ai dû m'avancer...

Que peux-tu dire sur la droite (BD) ?
Sur la droite (AC) :

la droite (BD) est parallèle à l'axe des ordonnées et la droite (AC) est parallèle à l'axe des abscisses

Conclusion pour (AC) et (BD) ?

puisque la droite (BD) est parallèle à l'axe des ordonnées et puisque la droite(AC) est parallèle à l'axe des abscisses alors ces 2droites sont perpendiculaires

Dernière modification par yannD (23-01-2020 19:09:50)

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#30 23-01-2020 19:10:03

Zebulor
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir Yann,
juste pour te passer le bonjour ! je file !


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#31 23-01-2020 19:21:18

yannD
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Re : Démonstration Losange

un bonjour sympathique, alors...

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#32 23-01-2020 20:37:59

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Re,

@Yann. C'est juste.
Allez, on va charrier un peu Zebulor...
C'est un grand timide, il n'ose pas dire qu'il avait été invité par la reine d'Angleterre, c'est pour ça qu'on ne le voyait plus...
Pourquoi donc a-t-il été invité à Buckingham Palace ? vas-tu dire...
Bin, la reine l'a anobli : il le cache, mais mes espions l'ont su !!! Si, si... Maintenant c'est Lord Zeb ! ^_^

@+


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#33 23-01-2020 20:58:56

Zebulor
Membre expert
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Re : Démonstration Losange

Boonjour les Djeun'z,
j'aurais bien aimé avoir un prof de maths avec un tel sens de l'humour ! j'en ris encore
@Yann : Je n'étais pas Chez la reine, car depuis que Yoshi m'appelle Speedy, beaucoup de matheux me téléphonent pour que je répare leurs pneus alors je suis très occupé. Ils ont tous entendu la publicité : "va donc, va donc chez Speedy."
Mais là j'ai acquis un autre statut : Lord Speedy

Dernière modification par Zebulor (23-01-2020 23:14:06)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#34 24-01-2020 17:53:08

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir Yoshi,

-> les diagonales sont perpendiculaires parce que (BD) parallèle à l'axe des ordonnée et (AC) parallèle à l'axe des abscisses
                 -> je choisis parallélogramme + Diagonales perpendiculaires pour le montrer
                 <- Montrer que ABCD est un losange

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#35 24-01-2020 19:13:14

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir,

Maintenant, direction la source principale.
Donc, question évidente : comment montrer que ABCD est un parallélogramme ?
Réponse non moins évidente : en utilisant l'une des 3 propriétés connues...
L'une d'entre elles est moins fatigante que les autre (N_B : on pourrait utiliser n'importe laquelle...)
Bien lire l'énoncé.

@+


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#36 25-01-2020 16:05:44

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonjour Yoshi, j'ai d'abord pensé à montrer que (BC) est la médiatrice du segment [AC] pour avoir 4 côtés de même longueur

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#37 25-01-2020 16:15:41

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Re,

Oui, je sais...
Cette méthode est la voie directe sans passer par le parallélogramme... On y reviendra.
Mais comme tu t'es engagé dans la voie : quadrilatère --> parallélogramme --> losange. Restons-y
Donc, il y 3 propriétés qui permettent de montrer qu'un quadrilatère est (seulement) un parallélogramme (et 4 côtés de même longueur n'en fait pas partie ! Tout losange est un parallélogramme, mais un parallélogramme n'est pas forcément un losange..).
Tu ne vas quand même pas m'obliger à te demander de me montrer que tu connais par cœur ces 3 propriétés ?

@+


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#38 26-01-2020 11:11:45

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonjour Yoshi, les 3 théorèmes pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, je les connais, mais je ne vois pas comment montrer (BC)//(AD) et (BA)//(CD)

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#39 26-01-2020 12:45:09

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Salut,

Alors tu auras du mal aussi avec (BC) // (AD) + BC=AD...
Cela dit, l'énoncé te donne des cordonnées et donc tu es en pleine Géométrie qu'on avait coutume de baptiser Géométrie analytiqye...
Tu as commencé la géométrie calculatoire en 3e, puis poursuivi en 2nde.
Tu sais donc calculer un coefficient directeur et donc prouver ainsi que deux droites sont parallèles, non ?
De plus, tu sais et tu peux calculer les longueurs des côtés.... Non ?
Ça, c'est le côté basique...
Mais, en 3e/2nde tu as appris à utiliser les vecteurs, ce qui te fait en sortant de la Géométrie pure, une solution supplémentaire en dehors des 3 classiques de monter qu'on a un parallélogramme (sans les calculs cités ci-dessus).... Tu vois ?

Il te reste parmi les classiques la 3e, la plus couramment utilisée et comme l'énoncé te donne des cordonnées...


@+

Dernière modification par yoshi (10-02-2020 15:13:02)


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#40 26-01-2020 17:56:41

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir Yoshi, j'ai montré que vecteur BC = vecteur AD  avec les coordonnées du  B(4;a) et D(4;-a) j'arrive à (2 ; -a) pour le vecteur BC et (2; -a ) pour le vecteur AD donc ces deux vecteurs sont bien égaux

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#41 26-01-2020 19:28:06

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Re,

Je présume qu'avec 2 vecteurs égaux, tu as  une conclusion...
Pourquoi ne la donnes-tu pas ?

On va explorer toutes les méthodes pour arriver au parallélogramme...
Bon, alors cette 3e propriété "classique" qui ne parle pas des côtés, tu vois qui elle est ?
Alors, encore une fois les  coordonnées te sont données, montre-la...

@+


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#42 26-01-2020 20:08:55

yannD
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Re : Démonstration Losange

pour la conclusion, je propose :

$\overrightarrow{BC} : (x_B-x_C\,;\,y_B-y_C) = (6 - 4\, ;\, 0 - a ) = (2\,;\,-a)$
$\overrightarrow{AD} : (x_D-x_A\,;\,y_D-y_A) = (4-2\,;\,-a - 0) = (2\,;\,-a)$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $
Et justement : Si deux vecteurs $\overrightarrow{BC} $ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux alors ABDC est un parallélogramme.
Donc je remonte le courant :

-> Je montre que le quadrilatère ABCD a deux côtés // et de même longueur
-> Je montre que si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange
<- Montrer que le quadrilatère ABCD est un Losange

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#43 26-01-2020 20:29:42

yoshi
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Re : Démonstration Losange

B'soir,...

tsss! tsss ! tsss! Yann : ta mémoire te joue des tours...

$\overrightarrow{BC} : (x_B-x_C\,;\,y_B-y_C)$

Les coordonnées vecteur $\overrightarrow{BC}$  ne sont pas celles-là : tu as calculé les coordonnées du $\overrightarrow{CB}$...
Eh oui...
Les coordonnées d'un vecteur sont :
(abscisse de l'extrémité - abscisse de l'origine ; ordonnée de l'extrémité - ordonnée de l'origine)
L'origine d'un vecteur est le premier point et l'extrémité le deuxième...
Donc le sens de $\overrightarrow{BC}$ est de B vers C...
$\overrightarrow{BC} : (x_C-x_B\,;\,y_C-y_B)$

Ca y est ? de nouveau sur les bons rails ?
Cela dit, tu as donc montré en fait que $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$ ce qui prouve également que ABCD est un parallélogramme...

Toutefois, si dans un devoir, on te demande explicitement les coordonnées d'un vecteur, ton calcul aboutissant aux coordonnées de son opposé : 0 pour le calcul.
Imagine, pire encore, qu'un exercice complet soit basé sur le calcul de coordonnées de plusieurs vecteurs, et que tu doives aussi utiliser des coordonnées qui te sont données et donc justes, il y a de grandes chances que tu n'arrives pas à prouver ce qu'on te demande et là, c'est tout l'exo qui passe à la trappe... Alors que tu savais faire !

@+


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#44 26-01-2020 21:40:27

yannD
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Re : Démonstration Losange

$A(2;0)$ ; $C(6;0)$ et $B(4;a)$ ; $D(4;-a)$.

$\overrightarrow{BC} : (x_C -  x_B \,;\, y_C - y_B) = ( 6 - 4\,;\, 0 - a) $
soit $\overrightarrow{BC} : (2\,;\, -a)$

$\overrightarrow{AD} : (x_D - x_A \,; \,y_D - y_A) = (  4 - 2 \,;\, -a - 0    )$
Soit $\overrightarrow{AD} : (2\,;\,-a)$

Les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont égaux

Et justement : Si deux vecteurs AB et CD sont égaux alors ABDC est un parallélogramme.

Donc je remonte vers la source :

- > Je montre que le quadrilatère ABCD a deux côtés parallèles et de même longueur
|
-> Je montre que si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange
|
< - Montrer que le quadrilatère ABCD est un Losange.

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#45 26-01-2020 21:51:06

yannD
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Re : Démonstration Losange

à  demain, bonne nuit ...

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#46 27-01-2020 09:11:14

yoshi
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Re : Démonstration Losange

Bonjour,

Merci, la nuit a été satisfaisante...
Alors, ce matin avec les idées plus claires, j'ai regardé ça de plus près.
Et j'ai constaté, avec surprise, que hier soir, si la formule littérale des coordonnées des vecteurs était incorrecte,, les calculs, eux,  par contre étaient faits dans le bon ordre !!!
Et donc que les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AD}$ étaient déjà exactes...

Alors là, tu m'en bouches un coin... C'est la première fois que je rencontre ce cas ! Pour ma curiosité, peux-tu m'expliquer comment à partir d'une formue incorrecte, tu as pu effectuer les calculs dans l'ordre inverse et donc justes ?
Méthode de calcul bien ancrée dans ta tête et donc calculs justes, mais "récitation" de la leçon incorrecte ?...

C'est moins grave que craint, mais fais attention quand même, à l'avenir...

@+


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#47 27-01-2020 18:51:06

yannD
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Re : Démonstration Losange

Bonsoir Yoshi, la formule des coordonnées du vecteur BC est incorrecte parce qu'en écrivant la formule en latex " overrightarrow{..."       j'ai d'abord écrit overrightarrow{BC}  ensuite en écrivant ou plutôt en voulant écrire x_C - x_B  j'ai gardé en mémoire le BC que je venais d'écrire dans  overrightarrow

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#48 28-01-2020 17:28:26

yoshi
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Re : Démonstration Losange

D'ac,

C'est un genre de faute qui ne peut pas se produire sur une feuille...

Bon, alors 2 côtés // et de même longueur as-tu proposé.
Et si tu pensais coefficients directeurs ? Tu ferais quoi ? (Réponds avec les calculs)
Reste en suite le calcul des longueurs des 2 côtés...

La géométrie pure va devenir de plus en plus rare  : voilà donc un utile rafraichissement des méthodes de calcul...

@+


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#49 28-01-2020 19:40:59

yannD
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Re : Démonstration Losange

Salut, j'ai eu la bonne idée de regarder le forum ainsi j'ai vu que tu m'as posé une question, et oui, c'est vrai que l'on ne fait plus de calculs comme l'année dernière

donc j'en suis à cette étape :

- > je dois montrer que le quadrilatère ABCD a ses côtés [BC] et [AD] parallèles
|
-> je montre que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
|
<- j'ai la question : montrer que le quadrilatère ABCD est un losange

Dernière modification par yannD (28-01-2020 19:49:22)

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#50 28-01-2020 20:46:32

yannD
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Re : Démonstration Losange

et pour montrer (BC) parallèles à (AD) , je montre que le coefficient directeur de la droite (BC) est égal au coefficient directeur de (AD)

la forme réduite d'une équation de droite : $y =a.x+b$ ,
pour la droite (BC) , le coefficient directeur est :

$a=\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B} = \frac{6-4}{0-a} = \frac{2}{-a}$

l'équation s'écrivant maintenant : $ y = \frac{2}{-a}\times x+b$ , pour trouver b , j'écris que   les coordonnées de B et de C vérifient l'équation de la droite avec  x l'abscisse de  B ou C et y l'ordonnée de B ou de C

$y = a.x+b =>0= \frac{2}{-a}\times 6+b <=> 0 = \frac{12}{-a}+ b$ soit $b = \frac{12}{a}$

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