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#1 19-01-2020 15:19:44

brics
Invité

Intégrale impropre

Bonjour est ce que vous avez une astuce pour calculer les integrales impropres avec des fonction logarithmique?je n'arrive pas à résoudre ces intégrales suivantes
[tex]1)\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx} [/tex]
[tex]2)\int_{0}^{+\infty}{\frac{(ln(x))^2}{1+x^2}dx}[/tex]
[tex]3)\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x+1)}{(1-x)^{2/3}(e^x-1)^{7/4}}dx}[/tex]
[tex]4)\int_{0}^{+\infty}{\frac{xln(x)}{(1+x^2)^2}dx} [/tex]
[tex]5)\int_{0}^{+\infty}{\frac{ln(x)}{\sqrt{1+x^2}}dx}[/tex]

#2 19-01-2020 17:11:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Intégrale impropre

Bonjour,

Première chose, il faut que tu sois précis sur le vocabulaire. Moi, je ne sais pas ce que signifie résoudre une intégrale impropre. Je sais résoudre une équation, mais pas une intégrale.
Pour les intégrales impropres, ce qu'on peut en général me demander, c'est savoir si cette intégrale converge, et éventuellement de calculer sa valeur.
En ce qui concerne ton exercice, j'ai l'impression qu'on te demande de savoir si ces intégrales impropres convergent... La première chose que tu dois faire, c'est lire en détails ton cours. Tu vas avoir des exemples d'intégrales impropres convergentes et divergentes, et des critères de comparaison pour se ramener à ces cas-là. Ensuite, tu vas avoir besoin de comprendre comment tes fonctions se comportent, et éventuellement des comparaisons de la fonction logarithme avec les fonctions puissance.

Je vais juste commencer la première intégrale. La première chose à dire, c'est que la fonction à intégrer est continue sur $]0,1]$. Le seul problème à étudier est donc la convergence en 0. A quoi est équivalente ta fonction en 0????

F.

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#3 21-01-2020 20:09:22

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

Bonsoir
excusez mon vocabulaire quand je dis resoudre effectivement je voulais dire savoir si l'integrale est convergente ou pas  et même calculer sa limite si possible.
pour le 1 finalement j'ai pu le faire en utilisant l'equivalence comme vous avez suggerez et j'ai obtenu un resultat qui m'as permis de conclure que l'integrale est divergente

#4 21-01-2020 20:27:58

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Intégrale impropre

brics a écrit :

pour le 1 finalement j'ai pu le faire en utilisant l'equivalence comme vous avez suggerez et j'ai obtenu un resultat qui m'as permis de conclure que l'integrale est divergente

@Brics :  sans vouloir t'accabler ton vocabulaire n'est pas approprié ... Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par "calculer sa limite" (sous entendu de la première  intégrale) : parce que soit cette intégrale converge et c'est alors un nombre fini qu'on peut éventuellement trouver par le calcul, soit elle diverge vers plus l'infini ou vers moins l'infini.

Fred t' a mis sur le chemin et tu conclus que l'intégrale de la 1ere question est divergente mais….ce n'est pas le cas.

Pour la méthode : regarde si tu peux trouver une primitive de l'équivalent en 0 - appelé $g$ par exemple - de la fonction $x \mapsto {\frac{ln(x)}{(1+x)^3}}$.
Alors [tex]\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx} [/tex] est de même nature en 0 que [tex]\int_0^b g(t) \, \mathrm{d}t [/tex]

Le calcul même de ton intégrale, en cas de convergence, est une autre affaire.

Dernière modification par Zebulor (22-01-2020 07:27:40)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#5 22-01-2020 14:45:04

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

ah oui j'ai fais l’intégrale tend vers 0 plutôt donc elle est convergente
encore une fois lorsque je dis sa limite c'est par rapports aux intégrales convergente donc les limites fini.

#6 22-01-2020 17:45:15

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

pour la deuxième integrale j'ai utilisié la relation de chasle
[tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}=\int_{0}^{1}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}+\int_{1}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex]
[tex]\int_{0}^{1}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] diverge
[tex]\int_{1}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] converge
donc l'integrale [tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] diverge

#7 22-01-2020 19:40:29

Zebulor
Membre expert
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Messages : 2 072

Re : Intégrale impropre

Bonsoir,

brics a écrit :

ah oui j'ai fais l’intégrale tend vers 0 plutôt donc elle est convergente
encore une fois lorsque je dis sa limite c'est par rapports aux intégrales convergente donc les limites fini.

..ta justification me paraît bien peu claire. En tout cas la première intégrale [tex]1)\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx} [/tex]  est convergente et ne vaut pas 0 mais un nombre négatif car ln(x) est négatif sur l'intervalle considéré. Désolé mais je ne comprends pas ce que tu écris dans ton post 5.

Pour ta deuxième intégrale utiliser la relation de Chasles est une bonne idée. Sur la forme ton raisonnement est juste mais sur le fond il y a au moins une erreur...et ton résultat final est faux

Dernière modification par Zebulor (23-01-2020 06:35:09)


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#8 22-01-2020 20:41:17

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

Zebulor a écrit :

Bonsoir,
..ta justification me paraît bien peu claire. En tout cas la première intégrale est convergente et ne vaut pas 0 mais un nombre négatif.

j'ai revu mes calcul et je trouve -1

Zebulor a écrit :

Désolé mais je ne comprends pas ce que tu écris dans ton post 5.

laissez tomber je vais me limiter juste  à la nature des integrales(convergentes ou divergente) le reste je pense que je pourrai faire

Zebulor a écrit :

Pour ta deuxième intégrale utiliser la relation de Chasles est une bonne idée. Sur la forme ton raisonnement est juste mais sur le fond il y a au moins une erreur...et ton résultat final est faux

par contre là je vois pas mon erreur

#9 22-01-2020 21:03:33

Zebulor
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Re : Intégrale impropre

re,
[tex]\int_{0}^{1}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] : intégrale d'une fonction continue sur ]0;1].

Elle converge en 0 et le raisonnement est le même que pour la première intégrale, parce qu'une primitive de $x \mapsto (ln(x))^2$ a une limite finie en 0.

La convergence en 1 ne pose pas de problème puisque la fonction à intégrer s'y annule.

Conclusion : cette intégrale converge.

Tu écris : [tex]\int_{1}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] converge. Je ne sais pas comment tu l'as prouvé.. mais voici ce que je propose :
[tex]x \mapsto {\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] est continue sur $[1;+ \infty[$
En 1 l'intégrale converge.
Cette fonction positive est inférieure à [tex]{\frac{(lnx)^2}{x^2}}[/tex] sur  $[1;+ \infty[$.
Or une primitive de  [tex]{\frac{(lnx)^2}{x^2}}[/tex] (que je n'ecris pas parce que c'est long ici) s'annule en l'infini.

Conclusion : [tex]\int_{0}^{+\infty}{\frac{(lnx)^2}{1+x^2}}[/tex] converge. …

A mon humble avis à première vue il est plus simple de démontrer la nature de cette intégrale que de la calculer...bien que çà semble pouvoir se faire avec deux IPP

Dernière modification par Zebulor (22-01-2020 21:55:40)


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#10 22-01-2020 21:52:31

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

après presque 45mn de relecture j'ai pu voir mon erreur et j'ai trouver une convergence vers 2
je m'excuse un peu pour les erreurs que je fais depuis le début,déjà que les intégrales simple ça a toujours été ma bête noir ,c'est devenu pire avec les intégrales impropre

#11 22-01-2020 21:59:45

Zebulor
Membre expert
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Re : Intégrale impropre

Re,
ne t'excuse pas on est là pour t'aider et il m'arrive aussi de me tromper.
tu m'intrigues avec ta convergence vers 2.. relis bien ton cours...


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#12 22-01-2020 22:07:21

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

quand je dis convergence vers 2 je parle de la première intégrale
la deuxième j'ai pas calculé le réel vers lequel l’intégrale tend j'ai utilisé le critère de Rieman.Pour l'instant je me limites juste aux nature (convergentes ou divergente) des integrales

#13 22-01-2020 22:11:58

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

si c'est sur le vocabulaire alors je veux dire que l'integrale a une valeur fini(la première qui est 2)

#14 22-01-2020 22:17:26

Zebulor
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Re : Intégrale impropre

re,
oui la première intégrale [tex]1)\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx} [/tex] converge. Je ne connais pas les étapes de tes calculs ni comment tu t' y prends mais sauf erreur de ma part elle vaut $-ln(2)$

Dernière modification par Zebulor (23-01-2020 06:18:29)


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#15 22-01-2020 22:43:21

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

Primitive de (lnx) ^2 est x(lnx^2)- 2(xlnx- x)

#16 23-01-2020 06:11:32

Zebulor
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Re : Intégrale impropre

Bonjour,

brics a écrit :

Primitive de (lnx) ^2 est x(lnx^2)- 2(xlnx- x)

. Exact !


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#17 23-01-2020 06:26:15

Zebulor
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Re : Intégrale impropre

re,
Mea culpa j'ai fait une erreur de calcul au post #14. Cette intégrale [tex]1)\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx} [/tex] vaut :
$\frac {-1}{4}*(1+2ln(2))$ sous réserve parce que j'ai trouvé une primitive avec difficulté !

Dernière modification par Zebulor (23-01-2020 06:30:38)


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#18 23-01-2020 18:21:03

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

poUr le 3) comment je m'y prend?

#19 23-01-2020 21:25:00

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

desolé du retard
il n'est pas defini sur 1 mais est ce suffisant pour dire que l'integrale n'existe pas ? la limite de la primitive en 1 ne donnera pas un reel?[*][/*]

#20 23-01-2020 21:55:49

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

et aussi j'ai une question
si deux fonctions f,g positive son équivalent en un point a, la valeur de l'integrale aux bornes de ]a,b] n'est pas la même ?c'est à dire
[tex]\int_{a}^{b}{f}=\int_{a}^{b}{g}[/tex]?

#21 23-01-2020 22:23:38

Roro
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Messages : 1 552

Re : Intégrale impropre

Bonsoir,

As-tu réfléchi deux secondes avant de poser cette question ?

brics a écrit :

et aussi j'ai une question
si deux fonctions f,g positive son équivalent en un point a, la valeur de l'integrale aux bornes de ]a,b] n'est pas la même ?c'est à dire
[tex]\int_{a}^{b}{f}=\int_{a}^{b}{g}[/tex]?

Essaye avec un exemple "simple" : $f(x)=1$ et $g(x)=1+x$ qui sont équivalentes en $x=0$...

Roro.

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#22 23-01-2020 22:44:00

LCTD
Membre
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Re : Intégrale impropre

Bonjour,

@Zebulor, pour l'intégrale 1)$\int_{0}^{1}{\frac{ln(x)}{(1+x)^3}dx}$ , je trouve le même résultat que vous à savoir $\frac {-1}{4}*(1+2ln(2))$

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#23 23-01-2020 22:56:35

Zebulor
Membre expert
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Re : Intégrale impropre

Re,
@brics : quel retard ? tu viens quand tu veux…
A mes yeux il n'y a pas de question bête en maths.
Dans ton post #20, tu sembles penser à un éventuel prolongement par continuité de la fonction en 1.
Je vais réfléchir à ta question...après 23h il est dangereux pour moi de faire des maths..

Dans certains cas, la fonction est prolongeable par continuité à une borne de l'intervalle d'intégration : par exemple
$\int_0^{+\infty}\,\ \frac{1-cos(x)}{x^2}\,dx$ est l'intégrale d'une fonction non définie en 0, néanmoins la fonction intégrée est prolongeable par continuité en 0 et vaut 1/2. Ce dernier cas est celui d'une intégrale faussement généralisée.

@LCTD : merci pour la confirmation !

Dernière modification par Zebulor (23-01-2020 23:20:46)


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#24 23-01-2020 23:37:27

brics
Invité

Re : Intégrale impropre

Zebulor a écrit :

Re,
@brics : quel retard ? tu viens quand tu veux…
Dans ton post #20, tu sembles penser à un éventuel prolongement par continuité de la fonction en 1.
Je vais réfléchir à ta question...après 23h il est dangereux pour moi de faire des maths..

haha ok daccord pas de soucis

Zebulor a écrit :

Re,
@brics : quel retard ? tu viens quand tu veux…
Dans certains cas, la fonction est prolongeable par continuité à une borne de l'intervalle d'intégration : par exemple
$\int_0^{+\infty}\,\ \frac{1-cos(x)}{x^2}\,dx$ est l'intégrale d'une fonction non définie en 0, néanmoins la fonction intégrée est prolongeable par continuité en 0 et vaut 1/2. Ce dernier cas est celui d'une intégrale faussement généralisée.

oui et Une intégrale faussement impropre est convergente

#25 25-01-2020 18:59:16

Zebulor
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Re : Intégrale impropre

Bonsoir,
Par intégrale faussement impropre, j'entends par là une intégrale d 'une fonction $f$ telle que $f$ prend une valeur finie à la limite d'uneborne finie à de l'intégrale. Par exemple  :
$\int_0^{+\infty}\,\ \frac{1-cos(x)}{x^2}\,dx$ est telle que la fonction à intégrer est prolongeable par continuité en 0.
mais on peut aussi considérer $\int_0^{+\infty}\,\ \frac{sin(x)}{x}\,dx$. Car $x\mapsto \frac{sin(x)}{x}$ est prolongeante par continuité en 0 en posant $f(0)=1$.

..et pour être précis : $\int_0^{+\infty}\,\ \frac{1-cos(x)}{x^2}\,dx$ est l'intégrale d'une fonction non définie en 0, néanmoins la fonction intégrée est prolongeable par continuité en 0 en posant $f(0)=1/2$ où $f : x \mapsto \frac{1-cos(x)}{x^2}$. Et elle converge absolument..

Dernière modification par Zebulor (25-01-2020 23:10:23)


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