Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 12-01-2020 00:52:13

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

accroissements finis

bonjour,
j'aimerais vous proposer un exercice sur les accroissements finis (que j'ai inventé et ayant 1 réponse) comme suit:

soit la fonction f définit, continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[ telle que: b>a>1
montrer que si f(a)=f(b)=0 alors il existe un c de  ]a;b[ vérifiant f'(c)=f(c)/c Ln(1/c)

Dernière modification par menjaoui (12-01-2020 21:30:00)

Hors ligne

#2 12-01-2020 07:26:11

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 280

Re : accroissements finis

Bonjour,
Ton résultat est faux en général, il suffit de prendre la fonction constante non nulle défini sur $[2;3]$. Peut-être faut-il rajouter des hypothèses ?

Hors ligne

#3 12-01-2020 21:46:08

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

bonjour
rectifiez b>a>1   et non pas b>a>0 (je m'excuse c'était une erreur de frappe).
pour vous aider , vous pourrez prendre une nouvelle fonction g dans [a;b] que j'aimerais appelée fonction assistante.
g étant le produit de 2 fonctions qui répondent bien sûr aux hypothèses. vous arriverez certainement à trouver la solution attendue. bon courage.       
                                                     
remarque: pour être plus clair : f'(c)=f(c) divisé par c.Ln(1/c)
                                                                                                                          cordialement

Dernière modification par menjaoui (12-01-2020 21:52:00)

Hors ligne

#4 13-01-2020 09:50:53

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 047

Re : accroissements finis

Re,

pour vous aider, (...)

Inconscient... ^_^

remarque: pour être plus clair : f'(c)=f(c) divisé par c.Ln(1/c)

Remarques :
Pour être plus clair
1. Penser à la priorité des opérations et utiliser des parenthèses supplémentaires :  f'(c)=f(c)/(c.ln(1/c))
2. Mieux, utiliser le Code Latex :
    $f'(c)=\dfrac{f(c)}{c\ln(\frac 1 c)}$  ou encore $f'(c)=-\dfrac{f(c)}{c\ln(c)}$
3. Le symbole du logarithme népérien est $\ln$ et non $\text{Ln}$
    Il y a de ça un temps certain,  le symbole a été $\text{Log}$ tandis que $\log$ désignait, par défaut, le logarithme décimal...
    Aujourd'hui, le log en base b se note  $\log_{b}(nombre)$...
    L'écriture $\log(nombre) $ est, par défaut, celle de $\log_{10}(nombre)$
    Jouer là-dessus permet de connaître le nombre de chiffres d'un nombre entier même en Maths ...
    Par exemple :
    $1+\text{E}(\log(12134567899857458962136547))$ donne 26...
    $n=6067283949928729481068273560672839499287294810682735606728394992872948106827356067283$
    $1+\text{E}(\log(n))$ donne 85

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#5 13-01-2020 10:10:32

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 817

Re : accroissements finis

Maenwe a écrit :

Bonjour,
Ton résultat est faux en général, il suffit de prendre la fonction constante non nulle défini sur $[2;3]$. Peut-être faut-il rajouter des hypothèses ?

Salut,

pourquoi tu ne tiens pas compte des remarques qu'on te fait ? Manifestement, ton résultat est faux, on te le dit, et tu n'en tiens pas compte ? Ce n'est pas terrible en termes de démarche scientifique, qu'en penses-tu ?


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#6 13-01-2020 13:30:46

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

bonjour
vous me parlez de la fonction constante non nulle!
dans les hypothèses j'ai déjà signalé que f(a)=f(b)= 0 (zéro)
vous voulez que je vous ajoute f fonction non constante. ok elle est non constante.
vous dites que mon résultat est faux : je n'ai pas compris.
pour le logarithme népérien ou décimal:ne vous inquiétez pas, il n'est pas gênant.
quant à l'écriture, je vous prie de m'excuser, je suis vieux et à dire vrai je me suis habitué à écrire avec mon premier ordinateur: STYLO pour enregistrer, CRAYON pour pouvoir modifier et GOMME pour supprimer. pour l'occasion je vous remercie pour le conseil concernant Code Latex (car c'est la 1ere fois que j'entends).

Dernière modification par menjaoui (16-01-2020 00:08:28)

Hors ligne

#7 14-01-2020 23:12:16

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

mes chers mathématiciens je vous souhaite le bonjour
je reviens au problème que je vous ai posé moyennant le  théorème des accroissements finis
à titre d'indication je peux recourir à une fonction que j'ai personnellement appelée fonction assistante car elle va m'aider à la résolution sans perturber ma démarche scientifique, c'est en quelque sorte ressemblant à un catalyseur dans les réactions chimiques ; est-ce clair? je m'explique encore une nouvelle fois: pour calculer une différence entre 2 nombres par exemple je peux ajouter au 1er terme un nombre que je retranche de l'autre dans l'idée d'arriver facilement au but: c'est le rôle de ma fonction  g(x). Attention ici il ne s'agit pas d'une différence mais plutôt d'un produit de 2 fonctions définies sur le même intervalle. (les universitaires arriveront rapidement à la déterminer)

                                                                                                          cordialement

Hors ligne

#8 15-01-2020 09:06:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 817

Re : accroissements finis

Salut,

je ne sais pas trop ce que tu attends de nous, mais je me dis que si tu penses qu'on va s'amuser à chercher à démontrer ton résultat, tu vas être un peu déçu, je le crains.
Ici, notre ADN, c'est l'aide qu'on peut apporter à ceux qui en ont besoin, nous ne sommes pas dans les challenges inutiles, nous avons, pour certains, largement passés l'âge si d'aventure on en aurait eu l'envie un jour.
Donc, et j'en suis désolé, ne perds pas ton temps à attendre, possible que tu trouves ton bonheur sur d'autres sites, plus ouverts à ce type d’exercices.
Bonne journée !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#9 15-01-2020 23:30:02

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

bonjour mon cher freddy, 

je n'ai pas posé le problème pour me moquer des gens que je qualifie non plus comme des étrangers, mais plutôt comme des amis / (es)ou bien comme je l'ai pensé dès la 1ere seconde une fois ma main sur le clavier comme mes frères et mes sœurs , autrement dit, des gens plus chers à moi.

oui, je suis d'accord avec vous, en effet, nous ne saurions prétendre pouvoir mener notre désir d'apprendre à bonne fin sans écoute et collaboration.

Bien, je passe rapidement à notre sujet :je vous prie de m'excuser ne pas transmettre la totalité du corrigé car , je suis nul en code LATEX, par suite il me semble difficile de transcrire symboles,fractions,....

Mais, je suis certain, que vous allez arriver jusqu'au bout.

Allons y maintenant; soit ma nouvelle fonction g(x)= ln(x). f(x)   définies sur [a;b]   où   1<a<b

[ c'est là l'astuce qu'il fallait découvrir juste par l'observation  du résultat final    f'(c)= .....  ]

( sans introduire la bijectivité de ln ,de sa continuité ou sa dérivabilité car des choses si vous voulez bien connues ! )

je continue:

l'on a : g(a)=g(b)=0       car f(a) et f(b) sont nuls par hypothèse

En appliquant le th. des accroiss. finis , cette fois-ci à la fonction g, nous arriverons avec un peu d'arithmétique à l’existence d'un c de ]a;b[

vérifiant  f'(c)=-f(c)/(c.lnc)

CONCLUSION : vous constatez que la fonction g est bien une FONCTION ASSISTANTE . nous pouvons donc ,et ce qui est le plus important, élaborer  avec d'autres fonctions utiles autre que ln telles la fonction affine, ax+b, ou bien un monôme d'un degré quelconque  ,ou une fonction trigonométrique ...etc.

Enfin, j'espère ce raisonnement  être satisfaisant.

Que pensez- vous ? (y a-t-il une erreur ?).
                                                                                                                               Cordialement

                                                                                                   
                                                                                                                            nom : Said el menjaoui
                                                                                                                                       ( du Maroc )

Dernière modification par menjaoui (16-01-2020 00:31:38)

Hors ligne

#10 16-01-2020 05:39:33

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 280

Re : accroissements finis

Bonjour,
Oui c'est bon ce que tu as écrit, mais tu peux encore plus généraliser ton résultat au lieu de $f(a)=f(b)=0$ tu peux juste mettre : si $f(a).ln(a)=f(b)ln(b)$ et tu obtiens le même résultat (en supposant bien sûr la fonction continue en $a$ et $b$ et dérivable sur $]a;b[$).

Dernière modification par Maenwe (16-01-2020 16:08:10)

Hors ligne

#11 16-01-2020 19:25:21

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

Bonjour tout le monde,

Merci pour le grand intérêt que vous accordez à la situation problème. votre suggestion est bonne mais dans ce cas le problème serait facile à traiter par suite au lieu de demander une démonstration je vais dire tout simplement , avec les données suivantes vérifier le résultat suivant ....=....

En bref, j'ai voulu secouer mes amis, les inciter à l'action et en même temps les pousser à remarquer que la fonction ln n'est rien d'autre qu'un exemple des fonctions qui interviennent dans ce que j'ai nommées Fonctions ASSISTANTES qui ont la forme de s(x)= g(x). f(x) où f représente ma fonction de base.

                                                                                                                                                       A bientôt.

Hors ligne

#12 16-01-2020 19:56:10

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 280

Re : accroissements finis

Je ne comprends pas vraiment où tu veux en venir.
Pourquoi parler de fonctions assistantes ? Sert-elle à quelque choses au-delà d’exhiber une quelconque formule sur $f$. Est-ce "simplement" pour exhiber des formules qui peuvent sembler plus ou moins étranges ou amusantes ?
C'est peut-être une idée intéressante, par exemple pour étudier les fonctions, mais il y a besoin d'un contexte d'application pour en comprendre l'idée. Ce genre de fonctions existent déjà et sont déjà utilisé (ce n'est pas un produit de fonctions mais ça reste des fonctions "assistantes" très utiles) par exemple les fonctions de Lyapunov ou les "fonctions de majorations" du théorème d'explosion en temps fini.

Si tu veux on peut faire encore plus compliqué :
Montrer que si, $f(k) < \frac{1}{ln(k)}$ pour tout $k \in \{a, b \}$ et qu'il existe $x \in [a;b]$ tel que $f(x) > \frac{1}{ln(x)}$, et $f$ continue en $a$ et $b$ et dérivable sur $]a;b[$, alors il existe $c \in ]a;b[$ tel que $f'(c) = \frac{-f(c)}{c.ln(c)}$.

Hors ligne

#13 17-01-2020 21:19:47

menjaoui
Membre
Inscription : 12-01-2020
Messages : 12

Re : accroissements finis

Bonjour,

Vous voulez introduire les fonctions différentielles ou les champs de vecteurs. Non, ce n'est meme pas ni Lapounov ou Poisson , ni les règles de stabilité des systèmes apprises pour l'application en quantique ou en mécanique ou ....: c'est un cadre si vous voulez allant vers un niveau plus avancé en la matière.
donc si je pose un problème d' un tel type je serais d'un genre étrange au sein du forum .

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quarantedeux plus soixante quatre
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums