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#1 09-01-2020 15:51:29

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Une application linéaire continue ?

Bonjour,

un petit doute sur l'exercice suivant :
On considère l'application $\phi : P\in\mathbb{C}[X]\to\mathbb{C}[X]$ défini $\forall z\in\mathbb{C}[X]$ par $\phi(P)(z)=P(z+1)-P(z)$.
Pour $P\in\mathbb{C}[X]$, on pose $||P||=sup_{x\in[0,1]}|P(x)|$.

On me demande de vérifier que ||P|| est bien une norme. J'y arrive.
On me demande si l'application est continue pour cette norme. Voilà ce que je fais :

Je considère $P\in\mathbb{C}[X]$ défini par $P(X)=X^n\in\mathbb{C}[X]$.

Alors $\phi(P)(z)=P(z+1)-P(z)=(z+1)^n-z^n$.

Ainsi $||\phi P||=sup_{x\in[0,1]}|\phi P(x)|\ge|\phi P(1)|=2^n-1$.

Ensuite, on sait que si $f:K\to\mathbb{R}$ est continue où K est un compact alors f est bornée et atteint ses bornes.

La contraposée permet de conclure que $||\phi P||$ n'est pas bornée donc non continue.

Qu'en pensez-vous?

Dernière modification par Tmota (09-01-2020 21:36:11)

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#2 09-01-2020 20:45:01

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : Une application linéaire continue ?

Bonsoir,
Je suppose que tu as fais une petite erreur de notations : tu ne voulais pas plutôt écrire $\phi$ à la place de $\Delta$ ?
Pour appliquer la contraposée de cette proposition il faut que $K$ soit un compact (comme tu l'as écris), maintenant qui sont $K$ et $f$ dans le cas qui t'intéresse ? Le $K$ que tu vas choisir (si j'ai bien deviné) est-il vraiment compact ? Si oui ou non pourquoi ?

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#3 09-01-2020 21:42:46

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une application linéaire continue ?

Bonsoir,

oui c'est bien cela.
Soit $P\in\mathbb{C}[X]$.
Je note $p=deg(P)$ de sorte que $P\in\mathbb{C}_p[X]$.

Et je comprends votre remarque !
$\mathbb{C}_p[X]$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie $p+1$ de l'espace vectoriel normé $\mathbb{C}[X]$. C'est un fermé.
Mais pas forcément un borné ! Donc il n'est pas compact :/

Je ne peux donc pas appliquer la propriété avec l'application $\phi:P\in\mathbb{C}_p[X]\to\mathbb{R}$ définie par $\phi(P)=||\phi(P)||$.

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