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#1 07-01-2020 22:51:35

Mariiie
Membre
Inscription : 07-01-2020
Messages : 3

Questions diverses analyse

Bonsoir à tous !

J'ai un certain nombre de questions, sur lesquelles je me prends la tête depuis un petit moment déjà, et je voulais avoir votre aide parce que je ne vois pas comment réussir à aboutir aux réponses voulues, et au bout du 5e café je me permets de venir pour la première fois sur ce forum histoire de lancer mon sos :-D

1) soit la fonction f : R -> R définie par f(x) = 2x3 + 3x², alors l'image de l'intervalle [-2, 0] est :
      Moi j'ai mis : [-4, 0] mais c'est faux, je dois trouver : et je ne sais absolument pas pourquoi.

2) L'intégrale S de a à -a [sin(tg(x))dx est nulle pour tout a appartenant à [-1,1]. Je ne sais pas dire si c'est vrai ou faux.

              sin(x²) - (sin(x))²
3) lim     --------------------         , a quoi est elle égale ? Je suis passée par deux méthodes, en partant
   x->0             x4









de la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1, j'ai décomposé sin²x en 1-cos²x, puis en utilisant BH, mais je ne parviens pas à trouver -1/3, et du coup je me demande comment vous feriez, et si vous pouviez m'expliquer les étapes de processus, parce que là je ne comprends pas.

                                  4
4) f(x) = 4(x+1)3/2 - ---- (x+1)5/2
                                 15


ici, je dois déterminer l'intervalle de convexité ainsi que les points d'inflexion. Si j'ai bien compris, je dois calculer la dérivée seconde et voir quand elle s'annule, sauf que je voulais savoir s'il n'existait pas une autre méthode, parce que je me suis trompée.

voilà voilà, j'ai encore une question sur la convergence de séries et une autre sur les intégrales (je suis désolée dites moi si j'abuse mais là j'ai vraiment besoin d'aide et je ne pose pas mes questions sans avoir "bataillé" dessus pendant un bon moment auparavant...)

Merci d'avance,

M

Dernière modification par Mariiie (07-01-2020 22:52:32)

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#2 07-01-2020 23:24:10

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Questions diverses analyse

Bonsoir ´
Et si tu essayais la tisane ?
1) La dérivée est 6x(x+1). Extrémums en 0 et -1. D ou l idée de scinder l intervalle [-2:0] en deux.
$f[-2,-1]=[-4;1]$ et $f[-1;0]=[1;0]$ et en recollant les morceaux..
L image par $f$ de la réunion des intervalles est la réunion de leur image.
2) quelle est la parité de ta fonction ?
3) tu peux par exemple  faire 1 DL d’ordre 2 pour $sin(x^2)$, un autre d’ordre 4 pour le carré du second sinus. La difficulté est de savoir à quel ordre arrêter les DL.

Dernière modification par Zebulor (08-01-2020 06:23:36)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#3 08-01-2020 09:40:55

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Questions diverses analyse

Bonjour,

Pour le 3, on peut aussi appliquer 4 fois successivement la règle de Lhospital.

C'est sans soucis et aucune question à se poser en court de route.
Juste à vérifier qu'on est bien, à chaque fois, dans les conditions pour appliquer la règle (c'est ici quasi instantané)

Le seul hic est que la règle de Lhospital n'est pas toujours enseignée ... peut être parce qu'elle est souvent très efficace ??

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#4 08-01-2020 10:22:37

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Questions diverses analyse

Rebonjour,



Pour la 4, tu écris "sauf que je voulais savoir s'il n'existait pas une autre méthode, parce que je me suis trompée."

Je présume que tu n'as pas réussi à trouver la dérivée seconde.

Se tromper, n'est pas une raison suffisante pour laisser tomber et chercher une autre manière de résoudre l'exercice, perséver à tenter de dériver.

Si f(x) = a.g(x)^b, avec g(x) dérivable, a et b étant des constantes, on a : f'(x) = a*b*g(x)^(b-1)

Donc avec f(x) = 4*(x+1)^(3/2) - (4/15) * (x+1)^(5/2) , on a :

f'(x) = 4 * (3/2) * (x+1)^(3/2 - 1) - (4/15) * (5/2) * (x+1)^(5/2 - 1)
f'(x) = 6 * (x+1)^(1/2) - (2/3).(x+1)^(3/2)

On applique les mêmes "formules" à f'(x) pour trouver f''(x), essaie ...

Tu devrais arriver à f''(x) = 3*(x-1)^(-1/2) - (x+1)^(1/2)

Qu'on peut aussi écrire : $f''(x) = \frac{3}{\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+1}$

et qu'on peut aussi écrire : $f''(x) = \frac{2-x}{\sqrt{x-1}}$

Dernière modification par Black Jack (08-01-2020 10:23:42)

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#5 08-01-2020 10:42:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Questions diverses analyse

Black Jack a écrit :

Bonjour,

Pour le 3, on peut aussi appliquer 4 fois successivement la règle de Lhospital.

C'est sans soucis et aucune question à se poser en court de route.
Juste à vérifier qu'on est bien, à chaque fois, dans les conditions pour appliquer la règle (c'est ici quasi instantané)

Le seul hic est que la règle de Lhospital n'est pas toujours enseignée ... peut être parce qu'elle est souvent très efficace ??

Salut,

la règle de l'Hôpital est morte et enterrée (plaisanterie classique) depuis très, très longtemps car utilement remplacer par les DL. Je pense que Fred ou d'autres pourraient nous donner la bonne raison.
Perso, je l'ai apprise tout seul vers la fin des années 70, au travers d'un livre de mathématiques supérieures (édité dans les années 30) d'un grand oncle ingénieur centralien. Le livre était à son nom, magnifique. Il est en bonne place dans ma bibliothèque.
Elle est en effet très efficace pour qui sait s'en servir mais je pense qu'elle ne permet pas de lever systématiquement le doute sur toutes les formes indéterminées qu'on peut rencontrer, ce que font bien entendu les DL.

Pour l'ordre, puisque l'exo présente au dénominateur un terme en $x^4$, je pense qu'il est raisonnable de pousser jusqu'à l'ordre 4.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 08-01-2020 11:50:51

Mariiie
Membre
Inscription : 07-01-2020
Messages : 3

Re : Questions diverses analyse

Wow merci à tous pour avoir pris le temps de me répondre et de m'aider !
(Et je me mets à la tisane XD)

Donc du coup je récapitule
1) je n'aurai jamais songé à faire ça, merci beaucoup de me l'avoir appris, maintenant la question que je me pose est est ce que c'est [-4, 1] ou [-4 , 1[ ?

2) Je suis bête, fonction impaire évidemment ...

3) Alors moi je sais utiliser BH mais je n'ai jamais fait avec les DL donc je vais faire avec les deux pour m'entrainer, merci beaucoup !!!

4) Oui effectivement j'aurai du persérvérer, merci infiniment pour votre aide.

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#7 09-01-2020 18:16:30

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Questions diverses analyse

Re,
@Marie :
Q1) la borne 1 est elle atteinte par $f$?
Autrement formulée : y a t il une valeur de $x$ Pour laquelle $f(x)=1$ ?

Q3. Le DL résultant du calcul de $sin(x^2)-sin(x)^2$ est d ordre 4, à savoir du style  $....+ax^4+o(x^4)$, puisqu en divisant par $x^4$ on obtient : $...a+o(1)$
Et $a$ est la limite du quotient que tu cherches.
En 0. :$ sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)$
Donc $sin(x^2)=x^2+o(x^2)$
Reste à écrire le DL du carré du sinus : constitué du carré de chacun des termes de sinus tel qu écrit ci dessus et de ses doubles produits  : tu t’arrêtes à l’ordre 4. : $x^2-2x^4/6+o(x^4)$.

Et la déjà apparaît ton -1/3
La suite est facile...

Dernière modification par Zebulor (09-01-2020 18:17:29)


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