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72Messo10

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derivation question

Bonjour je voudrais savoir si imaginons on doit dériver une racine dans laquelle il y a un quotient ou une multiplication doit on utiliser la formule de la racine d'une fonction ou celle d'un quotient? Merci

Roro

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Re : derivation question

Bonjour,

Ta question est en fait celle de la dérivée de fonctions composées, qui je crois n'est plus au programme de lycée.

En bref, si tu as deux fonctions $f$ et $g$ que tu sais dériver, comment dérive-t-on $h:x \mapsto f(g(x))$ ? (et peut-on le faire ?)

La réponse est oui, et la formule est la suivante :
$$h'(x) = f'(g(x)) \times g'(x).$$

Par exemple, si tu dois dériver la fonction définie par $\displaystyle h(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$ alors tu peut voir cette fonction comme une composée en posant $f(x) = \sqrt x$ et $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$. Puisque tu sais que $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$ et que $\displaystyle g'(x) = -\frac{1}{x^2}$, tu en déduis avec la formule précédente que
$$h'(x) = \frac{1}{\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{x}}} \times \Big(-\frac{1}{x^2}\Big) = \frac{-1}{2 x\sqrt x}.$$

Roro.

72Messo10

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Re : derivation question

Merci pour ta réponse mais Ducoup la formule est la meme pour n'importe quelle composition?

Black Jack

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Re : derivation question

Bonjour,

Avec [tex]h(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}[/tex], on peut aussi faire :

[tex]h(x) = (\frac{1}{x})^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]h'(x) = \frac{1}{2}.(\frac{1}{x})^{\frac{1}{2}-1} * (\frac{1}{x})'[/tex]

[tex]h'(x) = \frac{1}{2}.(\frac{1}{x})^{\frac{1}{2}-1} * (-\frac{1}{x^2})[/tex]

[tex]h'(x) = -\frac{1}{2}.(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}-1+2}})[/tex]

[tex]h'(x) = -\frac{1}{2}.(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})[/tex]

[tex]h'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex]

Cela semble long parce que j'ai fort détaillé pour aider la compréhension, en pratique, cela prend 2 lignes.

Il y a souvent plusieurs manières pour dériver, on choisit celle qu'on veut... si on ne se trompe pas.

Roro

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Re : derivation question

Bonsoir,

Merci pour ta réponse mais Ducoup la formule est la meme pour n'importe quelle composition?

Oui, cette formule est vraie dès que $f$ et $g$ sont dérivables...

Roro.