Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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Messages : 180

Sobolev

Bonjour
j'ai l'exo suivant:
1. Soit $u \in H^1(]0,1[)$. Montrer que $u \in \mathcal{C}^{1/2} (]0,1[)$: c'est à dire qu'il existe une constante $c$ telle que pour tout $x_1$ et $x_2$ dans $]0,1[$, on ait $|u(x_1)-u(x_2)| \leq c |x_1-x_2|^{1/2}$
2. Montrer que $\max_x |u(x)| \leq \sqrt{2} ||u||_{H^1}$.

Pour la question 1 on donne l'indication suivante: montrer d'abord qu'il existe une constante $c$ telle que $u=c+\displaystyle\int_0^x u'(t) dt$. En déduire que pour tous $x$ et $y$ on a $u(x)= u(y)+ \displaystyle\int_y^x u'(t) dt$ Enfin intégrer par rapport à $y$ pour conclure.

En fait l'indication ne marche pas.
Merci d'avance pour votre aide.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 565

Re : Sobolev

Bonsoir,

En fait, l'indication marche très bien (enfin, il faut savoir utiliser ce qui est intéressant...)

Puisque $u(x) - u(y) = \int_y^x u'(t) \mathrm dt$, tu peux utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour en déduire
$$|u(x) - u(y)|  \leq \sqrt{\Big| \int_y^x 1  \mathrm dt\Big|} \, \sqrt{\Big|\int_y^x u'(t)^2 \mathrm dt\Big|} \leq C \sqrt{|x-y|}.$$

Roro.